Задание №5. Периметр ромба ABCD равен 48 см, а диагональ AC = 12 см. Известно, что диагонали этого ромба пересекаются в точке O. а) Докажите, что отрезок DO — медиана треугольника ADC. б) Найдите все углы ромба ABCD.

а) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Значит, O — середина AC, поэтому AO = OC. В треугольнике ADC отрезок DO соединяет вершину D с серединой противоположной стороны AC и потому является медианой.

б) Сторона ромба равна \(48:4=12\) см. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому треугольник AOD прямоугольный, где AD = 12 см, AO = 6 см. Тогда \(\cos\angle DAO=AO/AD=6/12=1/2\), откуда ∠DAO = 60°. Диагональ AC биссектрисса угла A, поэтому ∠A = 120°. Противоположный угол C равен A, а соседние углы B и D supplementary с A и равны между собой.

Ответ: ∠A = ∠C = 120°; ∠B = ∠D = 60°.