Задание 5. (ОБЗ) Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожухаполнена в виде арки, приваренной к передней стенка печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Меры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение:

На рисунке 2 изображен кожух печи. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки. Центр окружности этой арки находится в середине нижней части кожуха. Нам даны размеры: ширина кожуха 28 см, высота 82 см. Арка проходит по верхней части кожуха.

Рассмотрим прямоугольник, который является передней стенкой печки. Ширина этого прямоугольника равна 28 см. Высота от нижней кромки до начала арки равна 82 см. Арка является частью окружности. Центр этой окружности находится в середине нижней части кожуха.

Пусть центр окружности будет точка O. Координаты центра окружности (примем нижний левый угол передней стенки за начало координат (0,0)) будут (14, 0).

Точка A на рисунке 2, которая отмечает начало арки, находится на высоте 82 см от нижнего основания. Ее координаты будут (0, 82) или (28, 82).

Радиус R – это расстояние от центра окружности O (14, 0) до любой точки на дуге. Возьмем точку B, которая находится на высоте 82 см и на расстоянии 14 см от центра (то есть, середина верхней части). Координаты точки B будут (14, 82).

Радиус R можно найти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в центре окружности (14, 0), точке (14, 82) и точке (0, 82).

Катет 1: расстояние по вертикали от (14, 0) до (14, 82), что равно 82 см.

Катет 2: расстояние по горизонтали от (14, 82) до (0, 82), что равно 14 см.

Гипотенуза – это радиус R.

\( R^2 = 82^2 + 14^2 \)

\( R^2 = 6724 + 196 \)

\( R^2 = 6920 \)

\( R = \sqrt{6920} \approx 83.1865 \)

Округлим до ближайшего целого.

Альтернативный подход

Представим, что центр окружности находится в точке (14, 0). Точка на дуге, которая нас интересует, находится на координате (0, 82) или (28, 82).

Рассмотрим точку (0, 82). Расстояние от (14, 0) до (0, 82):

\( R = \sqrt{(14-0)^2 + (0-82)^2} \)

\( R = \sqrt{14^2 + (-82)^2} \)

\( R = \sqrt{196 + 6724} \)

\( R = \sqrt{6920} \approx 83.1865 \)

Округляем до ближайшего целого.

Ответ: 83 сантиметра.