Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1. Полный дифференциал функции:
Сначала найдём частные производные функции \( z(x, y) = 2x^3y^2 + 5xy + 3x - 2y \) по \( x \) и \( y \).
\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3y^2 + 5xy + 3x - 2y) = 6x^2y^2 + 5y + 3 \)
\( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x^3y^2 + 5xy + 3x - 2y) = 4x^3y + 5x - 2 \)
Полный дифференциал \( dz \) имеет вид:
\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]\[ dz = (6x^2y^2 + 5y + 3) dx + (4x^3y + 5x - 2) dy \]2. Градиент функции в точке А(1,1):
Градиент \( \nabla z \) — это вектор из частных производных:
\[ \nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = (6x^2y^2 + 5y + 3, 4x^3y + 5x - 2) \]Вычисляем градиент в точке \( A(1,1) \):
\( \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 6(1)^2(1)^2 + 5(1) + 3 = 6 + 5 + 3 = 14 \)
\( \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = 4(1)^3(1) + 5(1) - 2 = 4 + 5 - 2 = 7 \)
Таким образом, градиент в точке \( A(1,1) \) равен:
\[ \nabla z(1,1) = (14, 7) \]3. Производная функции z(x,y) по направлению ї в точке А:
Сначала нужно найти единичный вектор \( \vec{u} \) в направлении вектора \( \vec{l} = (6,8) \).
\( |\vec{l}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)
\( \vec{u} = \frac{\vec{l}}{|\vec{l}|} = \left( \frac{6}{10}, \frac{8}{10} \right) = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \)
Производная по направлению \( \vec{u} \) вычисляется как скалярное произведение градиента на единичный вектор:
\[ \frac{\partial z}{\partial \vec{u}} = \nabla z \cdot \vec{u} \]\[ \frac{\partial z}{\partial \vec{u}}(1,1) = (14, 7) \cdot \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right) \]\[ \frac{\partial z}{\partial \vec{u}}(1,1) = 14 \cdot \frac{3}{5} + 7 \cdot \frac{4}{5} \]\[ \frac{\partial z}{\partial \vec{u}}(1,1) = \frac{42}{5} + \frac{28}{5} = \frac{70}{5} = 14 \]Ответ:
Полный дифференциал: \( dz = (6x^2y^2 + 5y + 3) dx + (4x^3y + 5x - 2) dy \)
Градиент в точке А(1,1): \( \nabla z(1,1) = (14, 7) \)
Производная по направлению ї в точке А: \( 14 \).
