Краткое пояснение:
Двоеточие ставится в случае, когда вторая часть предложения поясняет или дополняет первую, или когда первая часть содержит обобщающее слово перед однородными членами.
Пошаговое решение:
- Барсук (1) обитатель лесов. Здесь двоеточие не нужно, так как это простое предложение с однородными сказуемыми, где «обитатель» является частью сказуемого.
- поиска пищи (2) он всё время роется (3) в лесной подстилке и земле. Здесь двоеточие не нужно. Вторая часть является следствием первой, но не прямым пояснением, требующим двоеточия.
- А это чрезвычайно полезно лесу (4) взрыхляется почва. Двоеточие уместно, так как вторая часть «взрыхляется почва» поясняет, в чём именно заключается польза для леса.
- вредителей (5) личинок насекомых (6) слизняков и грызунов. Здесь двоеточие не нужно, так как это перечисление однородных дополнений, а не пояснение.
- меньше (7) чем дятлы и муравьи. Двоеточие не нужно, так как это сравнительный оборот.
- За ум и пользу (8) барсуки получили почётное право украшать гербы (9) разных городов и поселений. Двоеточие не нужно.
Ответ: 4