Задание 4 Выделите полный квадрат в выражении y² – 9y – 5.

Решение:

Для выделения полного квадрата в выражении \( y^2 - 9y - 5 \) используем формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

1. Возьмём \( y^2 \) как \( a^2 \), тогда \( a = y \).
2. Выразим \( -2ab \) через \( -9y \). Имеем \( -2 \cdot y \cdot b = -9y \). Отсюда \( b = \frac{-9y}{-2y} = \frac{9}{2} \).
3. Теперь добавим и вычтем \( b^2 = \left( \frac{9}{2} \right)^2 = \frac{81}{4} \) к нашему выражению:

\[ y^2 - 9y - 5 = \left( y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{9}{2} + \left( \frac{9}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{9}{2} \right)^2 - 5 \]

Сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

\[ \left( y - \frac{9}{2} \right)^2 - \frac{81}{4} - 5 \]

Приведём свободные члены к общему знаменателю:

\[ -\frac{81}{4} - 5 = -\frac{81}{4} - \frac{20}{4} = -\frac{101}{4} \]

Таким образом, выражение примет вид:

\[ \left( y - \frac{9}{2} \right)^2 - \frac{101}{4} \]

Ответ: \( \left( y - \frac{9}{2} \right)^2 - \frac{101}{4} \).