Задание 44. Найдите на рисунке пары равных треугольников и докажите их равенство.

1)

Дано: AB || DC, AD || BC.

Доказать: \(\triangle ABC = \triangle ADC\).

Доказательство:

1. \(\angle BCA = \angle CAD\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\).
2. \(\angle BAC = \angle ACD\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(DC\) и секущей \(AC\).
3. \(AC = AC\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по второму признаку равенства.

2)

Дано: \(AC = BC\), \(AD = BD\).

Доказать: \(\triangle ADC = \triangle BDC\).

Доказательство:

1. \(AC = BC\) — по условию.
2. \(AD = BD\) — по условию.
3. \(CD = CD\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle ADC = \triangle BDC\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Ответ: \(\triangle ADC = \triangle BDC\) по третьему признаку равенства.

3)

Дано: \(LM = LP = 4\) см, \(NM = NP = 5\) см.

Доказать: \(\triangle LMN = \triangle LPN\).

Доказательство:

1. \(LM = LP = 4\) см — по условию.
2. \(NM = NP = 5\) см — по условию.
3. \(LN = LN\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle LMN = \triangle LPN\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Ответ: \(\triangle LMN = \triangle LPN\) по третьему признаку равенства.

4)

Дано: \(LT = LK\), \(ST = SK\).

Доказать: \(\triangle LTS = \triangle LKS\).

Доказательство:

1. \(LT = LK\) — по условию.
2. \(ST = SK\) — по условию.
3. \(LS = LS\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle LTS = \triangle LKS\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Ответ: \(\triangle LTS = \triangle LKS\) по третьему признаку равенства.

5)

Дано: \(FK = EH\), \(FE = KH\), \(\angle FKE = \angle HEK\).

Доказать: \(\triangle EFK = \triangle KHE\).

Доказательство:

1. \(FK = EH\) — по условию.
2. \(FE = KH\) — по условию.
3. \(EK = EK\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle EFK = \triangle KHE\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Ответ: \(\triangle EFK = \triangle KHE\) по третьему признаку равенства.

6)

Дано: \(AB = CD\), \(BC = AD\), \(\angle BAC = \angle ACD\).

Доказать: \(\triangle ABC = \triangle CDA\).

Доказательство:

1. \(AB = CD\) — по условию.
2. \(BC = AD\) — по условию.
3. \(AC = AC\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Ответ: \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по третьему признаку равенства.

7)

Дано: \(AQ = BQ\), \(AS = BS\), \(\angle SAQ = \angle SBQ\).

Доказать: \(\triangle ASQ = \triangle BSQ\).

Доказательство:

1. \(AS = BS\) — по условию.
2. \(AQ = BQ\) — по условию.
3. \(SQ = SQ\) — общая сторона.

Следовательно, \(\triangle ASQ = \triangle BSQ\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Ответ: \(\triangle ASQ = \triangle BSQ\) по третьему признаку равенства.

8)

Дано: \(DM = DK\), \(ME = KE\), \(DF = DQ\).

Доказать: \(\triangle DMF = \triangle DQK\).

Доказательство:

1. \(DM = DK\) — по условию.
2. \(DF = DQ\) — по условию.
3. \(\angle M D F = \angle K D Q\) — как вертикальные углы.

Следовательно, \(\triangle DMF = \triangle DQK\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: \(\triangle DMF = \triangle DQK\) по первому признаку равенства.