Задание 40. Найдите на рисунке пары равных треугольников и докажите их равенство.

1.

Дано: ABCD — четырехугольник; BC — общая сторона; \( \angle ABC = \angle DCB \); \( \angle ACB = \angle DBC \).
Доказать: \( \triangle ABC = \triangle DCB \).

Доказательство:

1. BC — общая сторона.
2. \( \angle ABC = \angle DCB \) (по условию).
3. \( \angle ACB = \angle DBC \) (по условию).

Значит, \( \triangle ABC = \triangle DCB \) по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

2.

Дано: \( \triangle MKT \); KF — высота и медиана, проведенная к стороне MT.

Доказать: \( \triangle MKF = \triangle TKF \).

Доказательство:

1. MK = TK (по условию, если KF — медиана).
2. \( \angle MKF = \angle TKF \) (по условию, если KF — биссектриса).
3. KF — общая сторона.

Значит, \( \triangle MKF = \triangle TKF \) по двум сторонам и углу между ними.

3.

Дано: \( \triangle DCH \); P — точка пересечения DH и CH; \( \angle CDH = \angle HCD \); \( \angle DHP = \angle CHP \).

Доказать: \( \triangle DHP = \triangle CHP \).

Доказательство:

1. \( \angle DHP = \angle CHP \) (по условию).
2. \( \angle CDH = \angle HCD \) (по условию).
3. PH — общая сторона.

Значит, \( \triangle DHP = \triangle CHP \) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

4.

Дано: \( \triangle DEH \) и \( \triangle FOH \); \( \angle D = \angle F \); \( \angle E = \angle H \); \( DE \nparallel FH \).

Доказать: \( \triangle DEO = \triangle FHO \).

Доказательство:

1. \( \angle D = \angle F \) (по условию).
2. \( \angle E = \angle H \) (по условию).
3. \( \angle DOE = \angle FOH \) (вертикальные углы).

Значит, \( \triangle DEO = \triangle FHO \) по трем углам. (Примечание: По условию \( DE \nparallel FH \), что подразумевает равенство \( \angle D = \angle F \) и \( \angle E = \angle H \) как накрест лежащие, и равенство \( \angle DOE = \angle FOH \) как вертикальные). Если исходить из заданных углов, то по первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), если бы была дана сторона EO=HO.

5.

Дано: \( \triangle MNB \) и \( \triangle NBA \); \( MN = AB \); \( NB \) — общая сторона; \( \angle MNB = \angle NBA \).

Доказать: \( \triangle MNB = \triangle NBA \).

Доказательство:

1. MN = AB (по условию).
2. NB — общая сторона.
3. \( \angle MNB = \angle NBA \) (по условию).

Значит, \( \triangle MNB = \triangle NBA \) по двум сторонам и углу между ними.

6.

Дано: \( \triangle RCK \) и \( \triangle PCK \); \( RC = PC \); \( CK \) — общая сторона; \( \angle RCK = \angle PCK \).

Доказать: \( \triangle RCK = \triangle PCK \).

Доказательство:

1. RC = PC (по условию).
2. CK — общая сторона.
3. \( \angle RCK = \angle PCK \) (по условию).

Значит, \( \triangle RCK = \triangle PCK \) по двум сторонам и углу между ними.

7.

Дано: \( \triangle PAN \) и \( \triangle MCL \); \( PA = MC \); \( AN = CL \); \( \angle PAN = \angle MCL \).

Доказать: \( \triangle PAN = \triangle MCL \).

Доказательство:

1. PA = MC (по условию).
2. AN = CL (по условию).
3. \( \angle PAN = \angle MCL \) (по условию).

Значит, \( \triangle PAN = \triangle MCL \) по двум сторонам и углу между ними.

8.

Дано: \( \triangle KLP \) и \( \triangle MLP \); \( KL = ML \); \( LP \) — общая сторона; \( \angle KLP = \angle MLP \).

Доказать: \( \triangle KLP = \triangle MLP \).

Доказательство:

1. KL = ML (по условию).
2. LP — общая сторона.
3. \( \angle KLP = \angle MLP \) (по условию).

Значит, \( \triangle KLP = \triangle MLP \) по двум сторонам и углу между ними.