Задание 4. Упростите выражение. \(\left(\frac{2x+y}{y} - \frac{2x}{2x+y}\right) : \left(\frac{2x+y}{2x} - \frac{y}{2x+y}\right)\)

Задание 4.

Упрощение выражения

Дано выражение: \(\left(\frac{2x+y}{y} - \frac{2x}{2x+y}\right) : \left(\frac{2x+y}{2x} - \frac{y}{2x+y}\right)\)

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю выражения в первой скобке.

Общий знаменатель для \( y \) и \( 2x+y \) равен \( y(2x+y) \).

\(\frac{2x+y}{y} - \frac{2x}{2x+y} = \frac{(2x+y)(2x+y)}{y(2x+y)} - \frac{2x · y}{y(2x+y)} = \frac{(2x+y)^2 - 2xy}{y(2x+y)}\)

Раскроем квадрат суммы: \( (2x+y)^2 = (2x)^2 + 2 · 2x · y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2 \).

Подставим обратно:

\(\frac{4x^2 + 4xy + y^2 - 2xy}{y(2x+y)} = \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{y(2x+y)}\)

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю выражения во второй скобке.

Общий знаменатель для \( 2x \) и \( 2x+y \) равен \( 2x(2x+y) \).

\(\frac{2x+y}{2x} - \frac{y}{2x+y} = \frac{(2x+y)(2x+y)}{2x(2x+y)} - \frac{y · 2x}{2x(2x+y)} = \frac{(2x+y)^2 - 2xy}{2x(2x+y)}\)

Раскроем квадрат суммы: \( (2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2 \).

Подставим обратно:

\(\frac{4x^2 + 4xy + y^2 - 2xy}{2x(2x+y)} = \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{2x(2x+y)}\)

Шаг 3: Выполним деление.

Деление заменим умножением на обратную дробь.

\(\frac{4x^2 + 2xy + y^2}{y(2x+y)} : \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{2x(2x+y)} = \frac{4x^2 + 2xy + y^2}{y(2x+y)} · \frac{2x(2x+y)}{4x^2 + 2xy + y^2}\)

Сократим одинаковые множители \( (4x^2 + 2xy + y^2) \) и \( (2x+y) \).

\(\frac{1}{y} · \frac{2x}{1} = \frac{2x}{y}\)

Ответ: \(\frac{2x}{y}\).