Задание 4: Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.

Дано:

• Правильная шестиугольная призма
• Наибольшая диагональ (D) = 8 см
• Угол между диагональю и боковым ребром (α) = 30°

Найти: Объем призмы (V)

Решение:

1. Находим длину бокового ребра (h):
   В прямоугольном треугольнике, образованном наибольшей диагональю призмы, ее проекцией на основание и боковым ребром, наибольшая диагональ является гипотенузой, а боковое ребро — катетом, противолежащим углу α.
2. Используем тригонометрическую функцию синуса:
• \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{D} \]
• \[ h = D \cdot \sin(\alpha) \]
• \[ h = 8 \text{ см} \cdot \sin(30°) \]
• \[ h = 8 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} \]
• \[ h = 4 \text{ см} \]
3. Находим длину стороны основания (a):
   Наибольшая диагональ шестиугольной призмы равна удвоенной длине стороны основания (d = 2a). Проекция наибольшей диагонали призмы на основание равна диагонали правильного шестиугольника, которая равна удвоенной стороне основания.
4. Используем тригонометрическую функцию косинуса:
• \[ \cos(\alpha) = \frac{d}{D} \]
• \[ d = D \cdot \cos(\alpha) \]
• \[ d = 8 \text{ см} \cdot \cos(30°) \]
• \[ d = 8 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• \[ d = 4\sqrt{3} \text{ см} \]
• Так как d = 2a, то
• \[ a = \frac{d}{2} \]
• \[ a = \frac{4\sqrt{3}}{2} \text{ см} \]
• \[ a = 2\sqrt{3} \text{ см} \]
5. Находим площадь основания (S_осн):
   Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:
• \[ S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \]
• \[ S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{3} \text{ см})^2 \]
• \[ S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4 \cdot 3) \text{ см}^2 \]
• \[ S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 12 \text{ см}^2 \]
• \[ S_{\text{осн}} = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
6. Находим объем призмы (V):
   Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
• \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]
• \[ V = 18\sqrt{3} \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} \]
• \[ V = 72\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: 72√3 см³