Задание 3. Заполните пропуски в доказательстве того, что уравнение −10x⁶ − 4x⁴ − 7x² − 13 = 0 не имеет корней. Сравним с нулём слагаемые в левой части уравнения: −10x⁶ = −10·(x³)□ □ 0; −4x⁴ = −4·(x²)□ □ 0; −7x² □ 0; −13 □ 0. Следовательно, выражение −10x⁶ − 4x⁴ − 7x² − 13 принимает □ значения. Тогда уравнение не имеет корней.

Question

Вопрос:

Фото задания

Задание 3. Заполните пропуски в доказательстве того, что уравнение −10x⁶ − 4x⁴ − 7x² − 13 = 0 не имеет корней. Сравним с нулём слагаемые в левой части уравнения: −10x⁶ = −10·(x³)□ □ 0; −4x⁴ = −4·(x²)□ □ 0; −7x² □ 0; −13 □ 0. Следовательно, выражение −10x⁶ − 4x⁴ − 7x² − 13 принимает □ значения. Тогда уравнение не имеет корней.

Accepted Answer

Так как квадраты неотрицательны, получаем:

\(-10x^6=-10\cdot(x^3)^2\leq 0\), поскольку \((x^3)^2\geq 0\).

\(-4x^4=-4\cdot(x^2)^2\leq 0\), поскольку \((x^2)^2\geq 0\).

\(-7x^2\leq 0\), а \(-13<0\).

Сумма этих слагаемых строго отрицательна при любом действительном \(x\): одно слагаемое равно постоянному отрицательному числу, остальные неположительны. Поэтому левая часть уравнения не может равняться нулю.

Ответ: в первых двух пропусках — степень 2 и знак ≤; далее — ≤, <, «отрицательные». Уравнение не имеет корней.