Задание 3. Из точки М к окружности проведены касательная ML (L — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках N и P (N лежит между М и Р). Найдите длину отрезка MN, если ML = 6 см, а NP = 5 см.

Решение:

Для касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, существует своя теорема. Она гласит:

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

В нашем случае:

• Касательная: ML
• Секущая: MP
• Внешняя часть секущей: MN

Теорема записывается так:

\[ ML^2 = MN \cdot MP \]

Мы знаем, что ML = 6 см. Секущая MP состоит из двух отрезков: MN и NP. То есть, MP = MN + NP.

Подставим это в формулу:

\[ ML^2 = MN \cdot (MN + NP) \]

Подставим известные значения ML = 6 см и NP = 5 см:

\[ 6^2 = MN \cdot (MN + 5) \]

\[ 36 = MN^2 + 5MN \]

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение. Перенесем все в одну сторону:

\[ MN^2 + 5MN - 36 = 0 \]

Найдем дискриминант (D):

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) \]

\[ D = 25 + 144 \]

\[ D = 169 \]

Найдем корни уравнения (x1, x2):

\[ MN = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ MN = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} \]

\[ MN = \frac{-5 \pm 13}{2} \]

Получаем два корня:

\[ MN_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ MN_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.

Ответ: 4 см