ЗАДАНИЕ №2 Биссектриса угла А равностороннего треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке К. Точка М – середина стороны ВС. Найдите КМ, если АВ = 1.

Решение:

• Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60°.
• Биссектриса угла A делит его пополам, то есть образует угол 30° с AB и AC.
• В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.
• Следовательно, биссектриса AK также является медианой и высотой.
• Точка K, как точка пересечения биссектрисы угла А с описанной окружностью, является серединой дуги BC, не содержащей точку A.
• Точка M — середина стороны BC.
• Поскольку AK — медиана, проведенная к основанию BC равнобедренного треугольника ABK (AB=AK, т.к. углы при основании равны 30°), то AK перпендикулярна BC.
• Значит, AK является высотой треугольника ABK.
• М — середина BC. В равностороннем треугольнике медиана AM перпендикулярна BC.
• Точка K лежит на описанной окружности.
• Рассмотрим треугольник ABM. Он прямоугольный (угол AMB = 90°). AB = 1. BM = 1/2 BC.
• В равностороннем треугольнике ABC со стороной 1, высота AM = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). BC = 1. BM = 1/2.
• В треугольнике ABM: AB^2 = AM^2 + BM^2 => 1^2 = (\( \frac{\sqrt{3}}{2} \))^2 + (1/2)^2 => 1 = 3/4 + 1/4 = 1.
• Рассмотрим треугольник KBM. Угол KBM = угол ABC / 2 = 60°/2 = 30° (так как AK — биссектриса угла A, и угол CKB = угол CAB = 60°, а угол KBC = угол KAC = 30°).
• В прямоугольном треугольнике KBM (угол KMB = 90°): KM = BM * tan(30°) = (1/2) * \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) = \( \frac{1}{2\sqrt{3}} \) = \( \frac{\sqrt{3}}{6} \).

Ответ: КМ = $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$