Задание 29. Найдите площадь треугольника ABC, используя данные рисунка: 1) AC = 10, высота BH = 4; 2) BC = 12, AH = 5, AH ⟂ BC; 3) AC = 7, высота BH = 6; 4) BC = 11, AH = 4, AH ⟂ BC; 5) BC = 8, AH = 9, AH ⟂ BC; 6) AB = 8, ∠A = 90°, угол между продолжениями AC и BC равен 45°; 7) BC = 4, AH = 6, AH ⟂ BC; 8) AB = 3, AC = 5, ∠A = 90°; 9) BC = 9, AH = 4, AH ⟂ BC; 10) AC = 5, ∠A = 90°, внешний угол при B равен 135°; 11) AB = 8, CH = 15, CH ⟂ AB; 12) AC = 17, высота из B к AC равна 3.

Для нахождения площади используем формулу \(S=\frac12 ah\), где \(a\) — основание, а \(h\) — соответствующая высота. В прямоугольном треугольнике можно взять катеты за основание и высоту.

1. \(S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot10\cdot4=20\).

2. \(S=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot12\cdot5=30\).

3. \(S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot7\cdot6=21\).

4. \(S=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot11\cdot4=22\).

5. \(S=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot8\cdot9=36\).

6. Угол при C равен 45° (он вертикален внешнему углу 45°). Так как угол A прямой, угол B также равен 45°, поэтому катеты AB и AC равны. Значит, AC = 8 и \(S=\frac12\cdot8\cdot8=32\).

7. \(S=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot4\cdot6=12\).

8. \(S=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot3\cdot5=7.5\).

9. \(S=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot9\cdot4=18\).

10. Внутренний угол B смежный с внешним углом 135°, поэтому равен 45°. При прямом угле A угол C тоже равен 45°, следовательно, AB = AC = 5. Тогда \(S=\frac12\cdot5\cdot5=12.5\).

11. Высота CH проведена к стороне AB, поэтому \(S=\frac12\cdot AB\cdot CH=\frac12\cdot8\cdot15=60\).

12. \(S=\frac12\cdot AC\cdot h=\frac12\cdot17\cdot3=25.5\).

Ответ: 1) 20; 2) 30; 3) 21; 4) 22; 5) 36; 6) 32; 7) 12; 8) 7,5; 9) 18; 10) 12,5; 11) 60; 12) 25,5.