Задание 2. Упростить выражение. 2) \(\frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-y} - \frac{3y}{y^2-4x^2}\) \(\cdot\) \(\frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2}\)

Решение:

Для упрощения первого выражения в скобках приведём дроби к общему знаменателю \( (2x+y)(2x-y) = 4x^2-y^2 \). Заметим, что \( y^2-4x^2 = -(4x^2-y^2) \).

\( \frac{2}{2x+y} - \frac{1}{2x-y} - \frac{3y}{y^2-4x^2} = \frac{2(2x-y) - 1(2x+y)}{(2x+y)(2x-y)} - \frac{3y}{-(4x^2-y^2)} \)

= \( \frac{4x-2y-2x-y}{4x^2-y^2} + \frac{3y}{4x^2-y^2} = \frac{2x-3y+3y}{4x^2-y^2} = \frac{2x}{4x^2-y^2} \)

Теперь упростим второе выражение в скобках:

\( \frac{y^2}{8x^2} - \frac{1}{2} = \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} \)

Теперь перемножим упрощённые выражения:

\( \frac{2x}{4x^2-y^2} \cdot \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} = \frac{2x}{-(y^2-4x^2)} \cdot \frac{y^2 - 4x^2}{8x^2} \)

= \( -\frac{2x}{8x^2} = -\frac{1}{4x} \)

Ответ: -\(\frac{1}{4x}\).