Задание №2. Решите уравнение: в) 2 sin(π/3 - x/4) = √3;

Решение:

Для решения уравнения \( 2 \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} \right) = \sqrt{3} \) сначала выделим синус:

\( \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь воспользуемся общим решением уравнения \( \sin(y) = a \), где \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Основные значения арксинуса для \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) это \( \frac{\pi}{3} \) и \( \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. \( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим первый случай:

\( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)

\( -\frac{x}{4} = 2\pi n \)

\( x = -8\pi n \).

Рассмотрим второй случай:

\( \frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \)

\( -\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi m \)

\( -\frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi m \)

\( x = -4 \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi m \right) \)

\( x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi m \).

Можно объединить решения, заметим, что \( -8\pi n \) включает в себя \( 0, \pm 8\pi, \pm 16\pi, \dots \), а \( -\frac{4\pi}{3} - 8\pi m \) включает в себя \( -\frac{4\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3} \pm 8\pi, \dots \).

Ответ: \( x = -8\pi n \) или \( x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi m \), где \( n, m \in \mathbb{Z} \).