Задание №2. Представьте в виде произведения: a) sin 3t - sin t; б) cos (α - 2β) - cos (α + 2β);

Решение:

Для представления тригонометрических выражений в виде произведения воспользуемся формулами:

• Разность синусов: \( \sin A - \sin B = 2 \sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2} \)
• Разность косинусов: \( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A-B}{2} \sin \frac{A+B}{2} \)

а) \( \sin 3t - \sin t \)

Применим формулу разности синусов, где \( A = 3t \) и \( B = t \).

\[ \sin 3t - \sin t = 2 \sin \frac{3t - t}{2} \cos \frac{3t + t}{2} = 2 \sin \frac{2t}{2} \cos \frac{4t}{2} = 2 \sin t \cos 2t \]

б) \( \cos (\alpha - 2\beta) - \cos (\alpha + 2\beta) \)

Применим формулу разности косинусов, где \( A = \alpha - 2\beta \) и \( B = \alpha + 2\beta \).

\[ \cos (\alpha - 2\beta) - \cos (\alpha + 2\beta) = -2 \sin \frac{(\alpha - 2\beta) - (\alpha + 2\beta)}{2} \sin \frac{(\alpha - 2\beta) + (\alpha + 2\beta)}{2} \]

\[ = -2 \sin \frac{\alpha - 2\beta - \alpha - 2\beta}{2} \sin \frac{\alpha - 2\beta + \alpha + 2\beta}{2} = -2 \sin \frac{-4\beta}{2} \sin \frac{2\alpha}{2} = -2 \sin (-2\beta) \sin \alpha \]

Так как \( \sin(-\gamma) = -\sin \gamma \), то:

\[ -2 \sin (-2\beta) \sin \alpha = -2 (-\sin 2\beta) \sin \alpha = 2 \sin 2\beta \sin \alpha \]

Ответ: а) \( 2 \sin t \cos 2t \); б) \( 2 \sin \alpha \sin 2\beta \).