Задание 2. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность с центром О. Докажите, что углы АОВ, ВОС, АОС равны. (Обязательно сделать полное оформление, дано, чертеж, доказательство).

Задание 2

Дано:

$$\triangle ABC$$ — равносторонний.

Окружность с центром О описана около $$\triangle ABC$$.

Доказать:

$$\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC$$

Чертеж:

Доказательство:

1. Так как $$\triangle ABC$$ — равносторонний, то все его стороны равны: $$AB = BC = AC$$.
2. Окружность описана около $$\triangle ABC$$. Точка О — центр этой окружности. Следовательно, отрезки OA, OB, OC являются радиусами этой окружности.
3. По свойству радиусов, все радиусы окружности равны: $$OA = OB = OC$$.
4. Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$, $$\triangle BOC$$ и $$\triangle AOC$$.
5. По признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), эти треугольники равны:
• $$AB = BC$$, $$OA = OB$$, $$OC = OC$$ (нет, это неверно).
• $$AB = BC = AC$$ (стороны равностороннего треугольника).
• $$OA = OB = OC$$ (радиусы описанной окружности).
6. Следовательно, $$\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle AOC$$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углы $$\angle AOB$$, $$\angle BOC$$, $$\angle AOC$$ являются соответственно углами при вершине О в каждом из этих треугольников.
8. Таким образом, $$\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC$$.

Ответ: Углы АОВ, ВОС, АОС равны, так как треугольники АОВ, ВОС и АОС равны по трем сторонам (стороны треугольника АВС и радиусы описанной окружности).