Задание 2. Для доказательства тождества \(\frac{4}{a^2 - 8a} + \frac{a^2}{a - 8} = a + 8 + \frac{64a + 4}{a^2 - 8a}\) его левая и правая части были представлены в виде одной и той же рациональной дроби. Найдите эту дробь.

Решение:

Чтобы найти рациональную дробь, которая представляет собой левую и правую части тождества, нужно привести левую часть к общему знаменателю и сложить дроби.

1. Приведём вторую дробь \( \frac{a^2}{a - 8} \) к общему знаменателю \( a^2 - 8a \). Для этого умножим числитель и знаменатель на \( a \):
   \( \frac{a^2}{a - 8} = \frac{a^2 \cdot a}{(a - 8) \cdot a} = \frac{a^3}{a^2 - 8a} \)
2. Теперь сложим дроби в левой части:
   \( \frac{4}{a^2 - 8a} + \frac{a^3}{a^2 - 8a} = \frac{4 + a^3}{a^2 - 8a} \)
3. Теперь приведём правую часть тождества \( a + 8 + \frac{64a + 4}{a^2 - 8a} \) к общему знаменателю \( a^2 - 8a \).
   \( a + 8 = \frac{(a + 8)(a^2 - 8a)}{a^2 - 8a} \)
   Раскроем скобки в числителе:
   \( (a + 8)(a^2 - 8a) = a(a^2 - 8a) + 8(a^2 - 8a) = a^3 - 8a^2 + 8a^2 - 64a = a^3 - 64a \)
4. Теперь сложим все части правой стороны:
   \( \frac{a^3 - 64a}{a^2 - 8a} + \frac{64a + 4}{a^2 - 8a} = \frac{a^3 - 64a + 64a + 4}{a^2 - 8a} = \frac{a^3 + 4}{a^2 - 8a} \)
5. Сравнив левую и правую части, мы видим, что они равны \( \frac{a^3 + 4}{a^2 - 8a} \).

Ответ: \( \frac{a^3 + 4}{a^2 - 8a} \)