Задание 172. Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 100, на равные отрезки AD, CE, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Пусть сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна \(a\), а \(AD=CE=BF=b\).

Так как \(AB=BC=CA\), \(AD=CE=BF\), а углы между соответствующими сторонами равны \(60^\circ\), то по теореме косинусов:

\[DE^2=DC^2+CE^2-2\cdot DC\cdot CE\cos60^\circ,\]

\[EF^2=EA^2+BF^2-2\cdot EA\cdot BF\cos60^\circ,\]

\[FD^2=FB^2+AD^2-2\cdot FB\cdot AD\cos60^\circ.\]

Во всех трёх выражениях используются одинаковые пары равных отрезков и один и тот же угол \(60^\circ\). Следовательно, \(DE=EF=FD\).

Таким образом, треугольник \(DEF\) равносторонний.

Ответ: \(\triangle DEF\) — равносторонний.