Задание 17.4) Диагональ АС ромба ABCD равна 60, а \( \angle BCA = 30° \). Найдите длину диагонали BD.

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Диагональ AC = 60. Значит, \( AO = OC = 60 / 2 = 30 \).

Диагональ BD перпендикулярна AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC.

\( \angle BOC = 90° \).

\( \angle BCA = 30° \) (дано).

В прямоугольном треугольнике BOC:

\( \cdot \cdot \cdot = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \)

\( \tan(\angle BCA) = \frac{BO}{OC} \)

\( \tan(30°) = \frac{BO}{30} \)

\( BO = 30 \cdot \tan(30°) \)

\( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

\( BO = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \).

Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то \( BD = 2 \cdot BO \).

\( BD = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \).

Ответ: \( 20\sqrt{3} \).