Задание 16.2] Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13. Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. По условию, диаметр \( d = 26 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол B = 90°). Гипотенузой является диагональ AC.

\( AC = d = 26 \).

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной AB и диагональю AC, т.е. \( \angle BAC = \alpha \).

По условию, синус угла между стороной и диагональю равен \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \( \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AC} \)
• \( \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC} \)

Найдём \( BC \):

\( \frac{BC}{26} = \frac{5}{13} \)

\( BC = 26 \cdot \frac{5}{13} = 2 \cdot 5 = 10 \).

Чтобы найти AB, сначала найдём \( \cos \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \]\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \] (так как \( \alpha \) — острый угол в прямоугольном треугольнике).

Теперь найдём \( AB \):

\( \frac{AB}{26} = \frac{12}{13} \)

\( AB = 26 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24 \).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\( S = AB \cdot BC \)

\( S = 24 \cdot 10 = 240 \).

Ответ: 240.