Задание №11. Найдите наименьшее значение функции y = 5x² - 3 на отрезке [-2;1]

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 5x^2 - 3 \) на отрезке \( [-2; 1] \) необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках, лежащих на отрезке, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать наименьшее.

Шаг 1: Найдем производную.

\[ y' = \frac{d}{dx}(5x^2 - 3) = 10x \]

Шаг 2: Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю:

\[ 10x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Критическая точка \( x = 0 \) принадлежит отрезку \( [-2; 1] \).

Шаг 3: Вычислим значения функции.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При \( x = -2 \) (левый конец отрезка):

\[ y(-2) = 5(-2)^2 - 3 = 5(4) - 3 = 20 - 3 = 17 \]

• При \( x = 0 \) (критическая точка):

\[ y(0) = 5(0)^2 - 3 = 0 - 3 = -3 \]

• При \( x = 1 \) (правый конец отрезка):

\[ y(1) = 5(1)^2 - 3 = 5(1) - 3 = 5 - 3 = 2 \]

Шаг 4: Найдем наименьшее значение.

Сравниваем полученные значения: \( 17, -3, 2 \). Наименьшее значение равно \( -3 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно -3.