Задание 10. Установите соответствие между объектами двух столбцов. По формуле бинома Ньютона раскройте скобки и упростите выражение. Сопоставьте условие задачи с его ответом: найдите четвёртый член разложения бинома \((2x+1)^5\); найдите средний член разложения бинома \((2x-1)^6\); найдите третий член разложения бинома \((x+2)^4\). Варианты ответов: \(24x^2\), \(40x^2\), \(-160x^3\).

Общий член разложения бинома: \(T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\).

1. Четвёртый член \((2x+1)^5\): здесь \(k=3\). Поэтому \(T_4=\binom{5}{3}(2x)^2\cdot1^3=10\cdot4x^2=40x^2\).
2. В разложении \((2x-1)^6\) семь членов, поэтому средний — четвёртый. \(T_4=\binom{6}{3}(2x)^3(-1)^3=20\cdot8x^3\cdot(-1)=-160x^3\).
3. Третий член \((x+2)^4\): здесь \(k=2\). Поэтому \(T_3=\binom{4}{2}x^2\cdot2^2=6\cdot4x^2=24x^2\).

Ответ: четвёртый член первого разложения — \(40x^2\); средний член второго — \(-160x^3\); третий член третьего — \(24x^2\).