Задание 1. Решите уравнение: a) (2x + 5)⁴ = (x - 3)⁴ (13 баллов); б) 3x³ + 6x² = 24х (13 баллов).

Задание 1.

а) Решение уравнения:

• \[ (2x + 5)^4 = (x - 3)^4 \]
• \[ (2x + 5)^4 - (x - 3)^4 = 0 \]
• Применим формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = (2x + 5)^2 \) и \( b = (x - 3)^2 \).
• \[ ((2x + 5)^2 - (x - 3)^2)((2x + 5)^2 + (x - 3)^2) = 0 \]
• Рассмотрим первый множитель: \( (2x + 5)^2 - (x - 3)^2 = 0 \). Снова применим разность квадратов:
• \[ ((2x + 5) - (x - 3))((2x + 5) + (x - 3)) = 0 \]
• \[ (2x + 5 - x + 3)(2x + 5 + x - 3) = 0 \]
• \[ (x + 8)(3x + 2) = 0 \]
• Отсюда получаем два возможных решения: \( x + 8 = 0 \) или \( 3x + 2 = 0 \).
• \[ x_1 = -8 \]
• \[ x_2 = -\frac{2}{3} \]
• Рассмотрим второй множитель: \( (2x + 5)^2 + (x - 3)^2 = 0 \).
• Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
• \[ (2x + 5)^2 = 0 \implies 2x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{2} \]
• \[ (x - 3)^2 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3 \]
• Так как значения \( x = -\frac{5}{2} \) и \( x = 3 \) не совпадают, это уравнение не имеет решений.
• Таким образом, решениями исходного уравнения являются \( x = -8 \) и \( x = -\frac{2}{3} \).

б) Решение уравнения:

• \[ 3x^3 + 6x^2 = 24x \]
• Перенесем все члены в одну сторону:
• \[ 3x^3 + 6x^2 - 24x = 0 \]
• Вынесем общий множитель \( 3x \):
• \[ 3x(x^2 + 2x - 8) = 0 \]
• Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Случай 1: \( 3x = 0 \implies x = 0 \).
• Случай 2: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \). Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
• \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]
• Найдем корни квадратного уравнения:
• \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
• \[ x_3 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
• \[ x_4 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
• Таким образом, решениями уравнения являются \( x = 0 \), \( x = 2 \) и \( x = -4 \).

Ответ: а) –8; –⅓. б) 0; 2; –4.