Задание 1. Проведите k прямых так, чтобы через каждую отмеченную точку проходила хотя бы одна прямая, и на каждой прямой было ровно n отмеченных точек. 1) k = 5, n = 2; 2) k = 4, n = 2; 3) k = 5, n = 1; 4) k = 8, n = 3.

Нужно соединить отмеченные точки прямыми так, чтобы каждая прямая содержала указанное число точек.

1) k = 5, n = 2. На рисунке 5 точек. Соединяем их попарно пятью отрезками: например, верхнюю левую — с нижней левой, верхнюю левую — с верхней правой, верхнюю правую — с нижней правой, нижнюю правую — с нижней левой, нижнюю левую — с верхней правой.

2) k = 4, n = 2. На рисунке 4 точки. Соединяем точки четырьмя попарными прямыми: например, стороны и одна диагональ четырёхугольника так, чтобы каждая точка была использована хотя бы один раз.

3) k = 5, n = 1. Через каждую из 5 точек проводим отдельную прямую, не проходящую через другие отмеченные точки. Итого 5 прямых.

4) k = 8, n = 3. Точки расположены в квадратной решётке 3 × 3. Проводим 3 горизонтальные прямые по строкам, 3 вертикальные прямые по столбцам и 2 диагональные прямые через угловые тройки точек. Всего: \(3+3+2=8\) прямых, на каждой ровно по 3 отмеченные точки.

Ответ: 1) 5 прямых; 2) 4 прямые; 3) 5 прямых; 4) 8 прямых.