Задание №1. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A равно 12. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{BD}\), если \(AB=9\) и \(\angle D=45^\circ\).

Так как угол A прямой, то треугольник ABD — прямоугольный, его катеты: \(AD=12\) и \(AB=9\).

По теореме Пифагора:

\[|\overrightarrow{BD}|=BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15.\]

Ответ: 15.