Задание 1. Найдите неопределённый интеграл: 1) \(\int -x\,dx\); 2) \(\int x^2\,dx\); 3) \(\int x^3\,dx\); 4) \(\int \frac{1}{3}t^3\,dt\); 5) \(\int (3-x)\,dx\); 6) \(\int (4x-x^2)\,dx\); 7) \(\int 5(x-2)\,dx\); 8) \(\int (8x^3+4x-7)\,dx\); 9) \(\int x^2(1+3x)\,dx\); 10) \(\int 4\sqrt{x}\,dx\).

Используем правило степенного интегрирования: \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) при \(n\ne -1\). Интеграл суммы равен сумме интегралов.

1. \(\int -x\,dx=-\frac{x^2}{2}+C\).
2. \(\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C\).
3. \(\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}+C\).
4. \(\int \frac{1}{3}t^3\,dt=\frac{1}{3}\cdot\frac{t^4}{4}+C=\frac{t^4}{12}+C\).
5. \(\int (3-x)\,dx=3x-\frac{x^2}{2}+C\).
6. \(\int (4x-x^2)\,dx=2x^2-\frac{x^3}{3}+C\).
7. \(\int 5(x-2)\,dx=\int (5x-10)\,dx=\frac{5x^2}{2}-10x+C\).
8. \(\int (8x^3+4x-7)\,dx=2x^4+2x^2-7x+C\).
9. \(\int x^2(1+3x)\,dx=\int (x^2+3x^3)\,dx=\frac{x^3}{3}+\frac{3x^4}{4}+C\).
10. \(\int 4\sqrt{x}\,dx=4\int x^{1/2}\,dx=\frac{8}{3}x^{3/2}+C\).