Задание 1. Найдите корни уравнения: 1) \(\sqrt{-72-17x}=-x\); 2) \(\sqrt{\frac{6}{4x-54}}=\frac{1}{7}\); 3) \(\sqrt{6+5x}=x\); 4) \(\frac{9}{x^2-16}=1\).

Для существования корня и неотрицательности правой части необходимо \(-72-17x\ge 0\) и \(-x\ge 0\). Возводим обе части в квадрат: \(-72-17x=x^2\), откуда \(x^2+17x+72=0\).

Разложим на множители: \((x+8)(x+9)=0\). Получаем \(x=-8\) или \(x=-9\). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \(x=-8;\,-9\).

Возводим обе части в квадрат: \(\frac{6}{4x-54}=\frac{1}{49}\). Тогда \(4x-54=294\), поэтому \(4x=348\) и \(x=87\). При этом знаменатель равен \(294\), а подкоренное выражение положительно; проверка: \(\sqrt{6/294}=\sqrt{1/49}=1/7\).

Ответ: \(x=87\).

Так как квадратный корень неотрицателен, должно быть \(x\ge 0\). Возводим обе части в квадрат: \(6+5x=x^2\), откуда \(x^2-5x-6=0\).

Разложим на множители: \((x-6)(x+1)=0\). Корни уравнения после возведения в квадрат — \(6\) и \(-1\), но условию \(x\ge 0\) удовлетворяет только \(6\). Проверка: \(\sqrt{6+5\cdot6}=6\).

Ответ: \(x=6\).

Знаменатель не должен равняться нулю: \(x^2-16\ne0\). Умножаем уравнение на знаменатель: \(9=x^2-16\), значит, \(x^2=25\).

Получаем \(x=5\) или \(x=-5\). При обоих значениях знаменатель равен \(9\), поэтому оба корня допустимы.

Ответ: \(x=-5;\,5\).