Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Задание 1. а) Решите уравнение: \(7\sin 3x+\cos\left(\frac{3\pi+14x}{2}\right)=\sin(\pi-7x)\). б) Укажите корни этого…Фото задания

Ответ:

а)

  1. Преобразуем аргументы: \(\frac{3\pi+14x}{2}=\frac{3\pi}{2}+7x\), поэтому \(\cos\left(\frac{3\pi}{2}+7x\right)=\sin 7x\). Также \(\sin(\pi-7x)=\sin 7x\).
  2. Подставляем тождества в уравнение: \(7\sin 3x+\sin 7x=\sin 7x\), откуда \(7\sin 3x=0\).
  3. Следовательно, \(\sin 3x=0\), значит \(3x=k\pi\), где \(k\in\mathbb{Z}\). Поэтому \(x=\frac{k\pi}{3}\), \(k\in\mathbb{Z}\).

б) Требуется \(-\frac{5\pi}{4}\leq\frac{k\pi}{3}\leq\frac{\pi}{4}\). Умножая на \(\frac{3}{\pi}>0\), получаем \(-\frac{15}{4}\leq k\leq\frac{3}{4}\). Целые значения \(k\): \(-3,-2,-1,0\).

Ответ: а) \(x=\frac{k\pi}{3}\), \(k\in\mathbb{Z}\); б) \(-\pi; -\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; 0\).