Задание 1. Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

Ответ: смотри решение

1. Задание 1a: №1
\[\lim_{x \to \infty} \frac{5 + 4x^2}{8 - 3x^2}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя, беря производную числителя и знаменателя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(5 + 4x^2)'}{(8 - 3x^2)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{8x}{-6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}\]
2. Задание 1б: №1
\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tg(4x)}{2sin(2x)}\]
Решение
При стремлении x к \(\frac{\pi}{2}\), числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(tg(4x))'}{(2sin(2x))'} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{4}{cos^2(4x)}}{4cos(2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{cos^2(4x)cos(2x)}\] При \(x = \frac{\pi}{2}\), \(cos(2x) = cos(\pi) = -1\), \(cos(4x) = cos(2\pi) = 1\). Следовательно, \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 \cdot (-1)} = -1\]
3. Задание 1a: №2
\[\lim_{x \to \infty} \frac{4 + 2x^3}{7 - 5x^3}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(4 + 2x^3)'}{(7 - 5x^3)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2}{-15x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{-15} = -\frac{2}{5}\]
4. Задание 1б: №2
\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tg(2x)}{sin(x) - 1}\]
Решение
Так как при стремлении x к \(\frac{\pi}{2}\), числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(tg(2x))'}{(sin(x) - 1)'} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{2}{cos^2(2x)}}{cos(x)}\] При \(x = \frac{\pi}{2}\), \(cos(x) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), \(cos(2x) = cos(\pi) = -1\). Следовательно, предел не существует, так как знаменатель стремится к нулю, а числитель к конечному значению.
5. Задание 1a: №3
\[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + 2x^2 + x^3}{3 - 7x^2 - 5x^3}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(2 + 2x^2 + x^3)'}{(3 - 7x^2 - 5x^3)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3x^2}{-14x - 15x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + 6x}{-14 - 30x} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{-30} = -\frac{1}{5}\]
6. Задание 1б: №3
\[\lim_{x \to 0} \frac{tg(2x)}{4sin(x)}\]
Решение
Так как при стремлении x к 0, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 0} \frac{(tg(2x))'}{(4sin(x))'} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{cos^2(2x)}}{4cos(x)} = \frac{\frac{2}{1}}{4 \cdot 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
7. Задание 1a: №4
\[\lim_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 3x}{x^2 - 4x}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(7x^2 + 3x)'}{(x^2 - 4x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{14x + 3}{2x - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{14}{2} = 7\]
8. Задание 1б: №4
\[\lim_{x \to 0} \frac{tg(2x)}{cos(3x) - 1}\]
Решение
Так как при стремлении x к 0, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 0} \frac{(tg(2x))'}{(cos(3x) - 1)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{cos^2(2x)}}{-3sin(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{-3sin(3x)cos^2(2x)}\] Так как \(sin(3x)\) стремится к 0 при \(x \to 0\), а \(cos^2(2x)\) стремится к 1, то предел не существует (стремится к бесконечности).
9. Задание 1a: №5
\[\lim_{x \to \infty} \frac{3e^x}{x^2 + 2}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(3e^x)'}{(x^2 + 2)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{3e^x}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3e^x}{2} = \infty\]
10. Задание 1б: №5
\[\lim_{x \to 0} \frac{3tgx}{1 - cos x}\]
Решение
Так как при стремлении x к 0, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 0} \frac{(3tgx)'}{(1 - cos x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{cos^2 x}}{sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{sin x \cdot cos^2 x}\] Так как \(sin x\) стремится к 0 при \(x \to 0\), а \(cos^2 x\) стремится к 1, то предел не существует (стремится к бесконечности).
11. Задание 1a: №6
\[\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{4x^2 + 5}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(2e^x)'}{(4x^2 + 5)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{8x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{8} = \infty\]
12. Задание 1б: №6
\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{cos 3x - 1}\]
Решение
Так как при стремлении x к 0, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 0} \frac{(x^2)'}{(cos 3x - 1)'} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{-3sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{-9cos 3x} = -\frac{2}{9}\]
13. Задание 1a: №7
\[\lim_{x \to \infty} \frac{3^x}{x^2 + 5}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(3^x)'}{(x^2 + 5)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{3^x ln(3)}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3^x ln^2(3)}{2} = \infty\]
14. Задание 1б: №7
\[\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - cos x}\]
Решение
Так как при стремлении x к 0, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 0} \frac{(3x^2)'}{(1 - cos x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{6x}{sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{6}{cos x} = \frac{6}{1} = 6\]
15. Задание 1a: №8
\[\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 5x}{2e^x}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 - 5x)'}{(2e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{8x - 5}{2e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{2e^x} = 0\]
16. Задание 1б: №8
\[\lim_{x \to 0} \frac{3 - 3cos x}{4x^2}\]
Решение
Так как при стремлении x к 0, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 0} \frac{(3 - 3cos x)'}{(4x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{3sin x}{8x} = \lim_{x \to 0} \frac{3cos x}{8} = \frac{3}{8}\]
17. Задание 1a: №9
\[\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 7}{4x^3 + 5x}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(2x^2 + 7)'}{(4x^3 + 5x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{12x^2 + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{24x} = 0\]
18. Задание 1б: №9
\[\lim_{x \to 1} \frac{3ln x}{4x - 4}\]
Решение
Так как при стремлении x к 1, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 1} \frac{(3ln x)'}{(4x - 4)'} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{x}}{4} = \frac{\frac{3}{1}}{4} = \frac{3}{4}\]
19. Задание 1a: №10
\[\lim_{x \to \infty} \frac{2e^x + 3}{x^2 - 4x}\]
Решение
Так как при стремлении x к бесконечности числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to \infty} \frac{(2e^x + 3)'}{(x^2 - 4x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{2x - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2e^x}{2} = \infty\]
20. Задание 1б: №10
\[\lim_{x \to 1} \frac{5ln x}{2 - 2x}\]
Решение
Так как при стремлении x к 1, числитель и знаменатель стремятся к 0, применяем правило Лопиталя: \[\lim_{x \to 1} \frac{(5ln x)'}{(2 - 2x)'} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{5}{x}}{-2} = \frac{\frac{5}{1}}{-2} = -\frac{5}{2}\]

Ответ: смотри решение