Задание 4. Вычислить интегралы. В задании необходимо найти 4 интеграла (пункты 4а, 46, 4в, 4г)

Задание 4а, вариант 1:

\[\int \left(5\sqrt{x^2} - \frac{2}{x^3} + 4\right) dx\]

Разбиваем интеграл на сумму интегралов:

\[= 5 \int \sqrt{x^2} dx - 2 \int \frac{1}{x^3} dx + 4 \int dx\]

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

• \[\int \sqrt{x^2} dx = \int |x| dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1\] (предполагаем, что x > 0)
• \[\int \frac{1}{x^3} dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2x^2} + C_2\]
• \[\int dx = x + C_3\]

Подставляем результаты обратно:

\[= 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2x^2}\right) + 4x + C\] \[= \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{x^2} + 4x + C\]

Задание 4б, вариант 1:

\[\int \frac{dx}{\sqrt[3]{5 + 3x}}\]

Делаем замену переменной: \(u = 5 + 3x\), тогда \(du = 3 dx\), и \(dx = \frac{1}{3} du\).

\[\int \frac{dx}{\sqrt[3]{5 + 3x}} = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{3}} du\]

Вычисляем интеграл:

\[= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C\]

Возвращаемся к исходной переменной:

\[= \frac{1}{2} (5 + 3x)^{\frac{2}{3}} + C = \frac{1}{2} \sqrt[3]{(5 + 3x)^2} + C\]

Задание 4а, вариант 2:

\[\int \left(x\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x^3}} + 1\right) dx\]

Преобразуем подынтегральное выражение:

\[= \int \left(x^{3/2} - x^{-3/2} + 1\right) dx\]

Интегрируем:

\[= \frac{x^{5/2}}{5/2} - \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + x + C\] \[= \frac{2}{5}x^{5/2} + 2x^{-1/2} + x + C\] \[= \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + x + C\]

Задание 4б, вариант 2:

\[\int \frac{dx}{\sqrt[5]{2 - 3x}}\]

Делаем замену переменной: \(u = 2 - 3x\), тогда \(du = -3 dx\), и \(dx = -\frac{1}{3} du\).

\[\int \frac{dx}{\sqrt[5]{2 - 3x}} = \int \frac{1}{\sqrt[5]{u}} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{5}} du\]

Вычисляем интеграл:

\[= -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{4} u^{\frac{4}{5}} + C = -\frac{5}{12} u^{\frac{4}{5}} + C\]

Возвращаемся к исходной переменной:

\[= -\frac{5}{12} (2 - 3x)^{\frac{4}{5}} + C = -\frac{5}{12} \sqrt[5]{(2 - 3x)^4} + C\]

Задание 4а, вариант 3:

\[\int (3\sqrt[3]{x^2} + \frac{7}{x^{10}} - 3) dx = \int (3x^{\frac{2}{3}} + 7x^{-10} - 3) dx\]

Интегрируем почленно:

\[= 3\int x^{\frac{2}{3}} dx + 7\int x^{-10} dx - 3\int dx\]

Вычисляем интегралы:

\[= 3\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + 7\cdot \frac{x^{-9}}{-9} - 3x + C\] \[= \frac{9}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{7}{9}x^{-9} - 3x + C\] \[= \frac{9}{5}x\sqrt[3]{x^2} - \frac{7}{9x^9} - 3x + C\]

Задание 4б, вариант 3:

\[\int \sqrt[5]{3 + 2x} dx\]

Делаем замену переменной: \(u = 3 + 2x\), тогда \(du = 2 dx\), и \(dx = \frac{1}{2} du\).

\[\int \sqrt[5]{3 + 2x} dx = \int \sqrt[5]{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{5}} du\]

Вычисляем интеграл:

\[= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}} + C = \frac{5}{12} u^{\frac{6}{5}} + C\]

Возвращаемся к исходной переменной:

\[= \frac{5}{12} (3 + 2x)^{\frac{6}{5}} + C = \frac{5}{12} \sqrt[5]{(3 + 2x)^6} + C\]