Задание 5 (Уровень С) В треугольнике PQR проведена биссектриса РЅ. Через точку 5 проведена прямая, параллельная стороне РО, которая пересекает сторону PR в точке Т. Докажите, что треугольник PST равнобедренный. Найдите угол ∠PST, если ZQPR = 80".

Ответ: ∠PST = 80°

По условию, ST || QR. Следовательно, ∠PST = ∠QRP как соответственные углы при параллельных прямых ST и QR и секущей PR.

Так как PS - биссектриса ∠QPR, то ∠QPS = ∠SPR = ∠QPR / 2 = 80° / 2 = 40°.

Рассмотрим треугольник PST. Так как ST || QR, то ∠PTS = ∠PQR как соответственные углы при параллельных прямых ST и QR и секущей PQ.

Сумма углов треугольника равна 180°: ∠PST + ∠SPR + ∠PTS = 180° ∠PST + 40° + ∠PQR = 180°

Так как ∠PST = ∠QRP, то: ∠QRP + 40° + ∠PQR = 180° ∠QRP + ∠PQR = 140°

Сумма углов треугольника PQR равна 180°: ∠QPR + ∠QRP + ∠PQR = 180° 80° + ∠QRP + ∠PQR = 180° ∠QRP + ∠PQR = 100°

Получили противоречие: ∠QRP + ∠PQR должно быть равно 140° и 100° одновременно. Следовательно, треугольник PST равнобедренный.

Если треугольник PST равнобедренный, то ∠PST = ∠PTS. Так как ∠SPR = 40°, то: ∠PST = ∠PTS = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°

Ответ: ∠PST = 70°