Задание 4. Сократите дробь: p(b) p 1) если р(b) = b+3 b 3b+1 b 4) p(a) p(6-a)' , если р(с) с(6-с); c-3 p(b) 2) 1 если р(b) = b+ P =(b+)(5b+): p(a) 5) p(8-a)', если р(с)-(8-6); c-4 p(b) 3) если р(b)=(b+10)(10b+1); p(a) 6) p(20-a)' если р(с) с(20-с) c-10

Ответ: Решение в процессе...

Решение:

1) \[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}, \text{ если } p(b) = \left(b + \frac{3}{b}\right)\left(3b + \frac{1}{b}\right);\]

Преобразуем p(b):

\[p(b) = \left(b + \frac{3}{b}\right)\left(3b + \frac{1}{b}\right) = \frac{b^2 + 3}{b} \cdot \frac{3b^2 + 1}{b} = \frac{(b^2 + 3)(3b^2 + 1)}{b^2}.\]

Теперь найдем p(1/b):

\[p(\frac{1}{b}) = \left(\frac{1}{b} + \frac{3}{\frac{1}{b}}\right)\left(3\cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{\frac{1}{b}}\right) = \left(\frac{1}{b} + 3b\right)\left(\frac{3}{b} + b\right) = \frac{1 + 3b^2}{b} \cdot \frac{3 + b^2}{b} = \frac{(1 + 3b^2)(3 + b^2)}{b^2}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{\frac{(b^2 + 3)(3b^2 + 1)}{b^2}}{\frac{(1 + 3b^2)(3 + b^2)}{b^2}} = \frac{(b^2 + 3)(3b^2 + 1)}{(1 + 3b^2)(3 + b^2)} = 1.\]

2) \[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}, \text{ если } p(b) = \left(b + \frac{5}{b}\right)\left(5b + \frac{1}{b}\right);\]

Преобразуем p(b):

\[p(b) = \left(b + \frac{5}{b}\right)\left(5b + \frac{1}{b}\right) = \frac{b^2 + 5}{b} \cdot \frac{5b^2 + 1}{b} = \frac{(b^2 + 5)(5b^2 + 1)}{b^2}.\]

Теперь найдем p(1/b):

\[p(\frac{1}{b}) = \left(\frac{1}{b} + \frac{5}{\frac{1}{b}}\right)\left(5\cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{\frac{1}{b}}\right) = \left(\frac{1}{b} + 5b\right)\left(\frac{5}{b} + b\right) = \frac{1 + 5b^2}{b} \cdot \frac{5 + b^2}{b} = \frac{(1 + 5b^2)(5 + b^2)}{b^2}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{\frac{(b^2 + 5)(5b^2 + 1)}{b^2}}{\frac{(1 + 5b^2)(5 + b^2)}{b^2}} = \frac{(b^2 + 5)(5b^2 + 1)}{(1 + 5b^2)(5 + b^2)} = 1.\]

3) \[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}, \text{ если } p(b) = \left(b + \frac{10}{b}\right)\left(10b + \frac{1}{b}\right);\]

Преобразуем p(b):

\[p(b) = \left(b + \frac{10}{b}\right)\left(10b + \frac{1}{b}\right) = \frac{b^2 + 10}{b} \cdot \frac{10b^2 + 1}{b} = \frac{(b^2 + 10)(10b^2 + 1)}{b^2}.\]

Теперь найдем p(1/b):

\[p(\frac{1}{b}) = \left(\frac{1}{b} + \frac{10}{\frac{1}{b}}\right)\left(10\cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{\frac{1}{b}}\right) = \left(\frac{1}{b} + 10b\right)\left(\frac{10}{b} + b\right) = \frac{1 + 10b^2}{b} \cdot \frac{10 + b^2}{b} = \frac{(1 + 10b^2)(10 + b^2)}{b^2}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{\frac{(b^2 + 10)(10b^2 + 1)}{b^2}}{\frac{(1 + 10b^2)(10 + b^2)}{b^2}} = \frac{(b^2 + 10)(10b^2 + 1)}{(1 + 10b^2)(10 + b^2)} = 1.\]

4) \[\frac{p(a)}{p(6-a)}, \text{ если } p(c) = \frac{c(6-c)}{c-3};\]

Найдем p(a):

\[p(a) = \frac{a(6-a)}{a-3}.\]

Теперь найдем p(6-a):

\[p(6-a) = \frac{(6-a)(6-(6-a))}{(6-a)-3} = \frac{(6-a)a}{3-a} = \frac{a(6-a)}{3-a}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{p(a)}{p(6-a)} = \frac{\frac{a(6-a)}{a-3}}{\frac{a(6-a)}{3-a}} = \frac{a(6-a)}{a-3} \cdot \frac{3-a}{a(6-a)} = \frac{3-a}{a-3} = -1.\]

5) \[\frac{p(a)}{p(8-a)}, \text{ если } p(c) = \frac{c(8-c)}{c-4};\]

Найдем p(a):

\[p(a) = \frac{a(8-a)}{a-4}.\]

Теперь найдем p(8-a):

\[p(8-a) = \frac{(8-a)(8-(8-a))}{(8-a)-4} = \frac{(8-a)a}{4-a} = \frac{a(8-a)}{4-a}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{p(a)}{p(8-a)} = \frac{\frac{a(8-a)}{a-4}}{\frac{a(8-a)}{4-a}} = \frac{a(8-a)}{a-4} \cdot \frac{4-a}{a(8-a)} = \frac{4-a}{a-4} = -1.\]

6) \[\frac{p(a)}{p(20-a)}, \text{ если } p(c) = \frac{c(20-c)}{c-10};\]

Найдем p(a):

\[p(a) = \frac{a(20-a)}{a-10}.\]

Теперь найдем p(20-a):

\[p(20-a) = \frac{(20-a)(20-(20-a))}{(20-a)-10} = \frac{(20-a)a}{10-a} = \frac{a(20-a)}{10-a}.\]

Сократим дробь:

\[\frac{p(a)}{p(20-a)} = \frac{\frac{a(20-a)}{a-10}}{\frac{a(20-a)}{10-a}} = \frac{a(20-a)}{a-10} \cdot \frac{10-a}{a(20-a)} = \frac{10-a}{a-10} = -1.\]