Задание №4. Решите задачу. Треугольник АВС равнобедренный. Один из углов равен 36°. Найдите все остальные углы. Сколько решений имеет данная задача?

Ответ: Задача имеет два решения.

Решение:

Случай 1: Угол при вершине равен 36°.

• Пусть угол \( \angle A = 36° \) (угол при вершине).
• Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть \( \angle B = \angle C \).
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Значит, \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \).
• \( 36° + \angle B + \angle C = 180° \).
• \( 2 \cdot \angle B = 180° - 36° \).
• \( 2 \cdot \angle B = 144° \).
• \( \angle B = \angle C = \frac{144°}{2} = 72° \).

Случай 2: Угол при основании равен 36°.

• Пусть угол \( \angle A = 36° \) (угол при основании).
• Тогда и \( \angle C = 36° \) (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны).
• \( \angle A + \angle B + \angle C = 180° \).
• \( 36° + \angle B + 36° = 180° \).
• \( \angle B = 180° - 36° - 36° \).
• \( \angle B = 180° - 72° = 108° \).

Ответ: Задача имеет два решения.