Задание 7. Решите неравенство: 1) x≤ 64; x 81. 2) x≤; X 9 3) x≤; X 4) x≤; 16; X 5) x≤49; 6) x≤ X 25 X

Question

Вопрос:

Задание 7. Решите неравенство: 1) x≤ 64; x 81. 2) x≤; X 9 3) x≤; X 4) x≤; 16; X 5) x≤49; 6) x≤ X 25 X

Ответ:

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для решения данных неравенств необходимо учитывать, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

1) \( x \le \frac{64}{x} \)
- Перенесем все в левую часть: \[ x - \frac{64}{x} \le 0 \]
- Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 64}{x} \le 0 \]
- Разложим числитель на множители: \[ \frac{(x - 8)(x + 8)}{x} \le 0 \]
- Найдем нули функции: \( x = -8, x = 8, x = 0 \)
- Определим знаки на интервалах:
  - \( x < -8 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( -8 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 \) (положительно)
  - \( 0 < x < 8 \): \( \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( x > 8 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \) (положительно)
- Решение: \( x \in (-\infty, -8] \cup (0, 8] \)
2) \( x \le \frac{81}{x} \)
- Перенесем все в левую часть: \[ x - \frac{81}{x} \le 0 \]
- Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 81}{x} \le 0 \]
- Разложим числитель на множители: \[ \frac{(x - 9)(x + 9)}{x} \le 0 \]
- Найдем нули функции: \( x = -9, x = 9, x = 0 \)
- Определим знаки на интервалах:
  - \( x < -9 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( -9 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 \) (положительно)
  - \( 0 < x < 9 \): \( \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( x > 9 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \) (положительно)
- Решение: \( x \in (-\infty, -9] \cup (0, 9] \)
3) \( x \le \frac{9}{x} \)
- Перенесем все в левую часть: \[ x - \frac{9}{x} \le 0 \]
- Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 9}{x} \le 0 \]
- Разложим числитель на множители: \[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x} \le 0 \]
- Найдем нули функции: \( x = -3, x = 3, x = 0 \)
- Определим знаки на интервалах:
  - \( x < -3 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( -3 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 \) (положительно)
  - \( 0 < x < 3 \): \( \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( x > 3 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \) (положительно)
- Решение: \( x \in (-\infty, -3] \cup (0, 3] \)
4) \( x \le \frac{16}{x} \)
- Перенесем все в левую часть: \[ x - \frac{16}{x} \le 0 \]
- Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 16}{x} \le 0 \]
- Разложим числитель на множители: \[ \frac{(x - 4)(x + 4)}{x} \le 0 \]
- Найдем нули функции: \( x = -4, x = 4, x = 0 \)
- Определим знаки на интервалах:
  - \( x < -4 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( -4 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 \) (положительно)
  - \( 0 < x < 4 \): \( \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( x > 4 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \) (положительно)
- Решение: \( x \in (-\infty, -4] \cup (0, 4] \)
5) \( x \le \frac{49}{x} \)
- Перенесем все в левую часть: \[ x - \frac{49}{x} \le 0 \]
- Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 49}{x} \le 0 \]
- Разложим числитель на множители: \[ \frac{(x - 7)(x + 7)}{x} \le 0 \]
- Найдем нули функции: \( x = -7, x = 7, x = 0 \)
- Определим знаки на интервалах:
  - \( x < -7 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( -7 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 \) (положительно)
  - \( 0 < x < 7 \): \( \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( x > 7 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \) (положительно)
- Решение: \( x \in (-\infty, -7] \cup (0, 7] \)
6) \( x \le \frac{25}{x} \)
- Перенесем все в левую часть: \[ x - \frac{25}{x} \le 0 \]
- Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x^2 - 25}{x} \le 0 \]
- Разложим числитель на множители: \[ \frac{(x - 5)(x + 5)}{x} \le 0 \]
- Найдем нули функции: \( x = -5, x = 5, x = 0 \)
- Определим знаки на интервалах:
  - \( x < -5 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( -5 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} > 0 \) (положительно)
  - \( 0 < x < 5 \): \( \frac{(-)(+)}{(+)} < 0 \) (отрицательно)
  - \( x > 5 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 \) (положительно)
- Решение: \( x \in (-\infty, -5] \cup (0, 5] \)

Ответ: Решения выше.