Задание № 3 Решите неравенство \(\frac{\log_5(3x-13)}{\log_5(x - 4)} \ge 1.\)

Ответ: \(x \in (4; 4.5] \cup (5; +\infty)\)

Пошаговое решение:

1. Определим ОДЗ:
   • \(3x - 13 > 0 \Rightarrow x > \frac{13}{3} \approx 4.33\)
   • \(x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4\)
   • \(\log_5(x - 4)
     eq 0 \Rightarrow x - 4
     eq 1 \Rightarrow x
     eq 5\)

   Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: \(x > \frac{13}{3}, x
   eq 5\)

2. Перенесем все в одну сторону:

   \[\frac{\log_5(3x - 13)}{\log_5(x - 4)} - 1 \ge 0\]

3. Приведем к общему знаменателю:

   \[\frac{\log_5(3x - 13) - \log_5(x - 4)}{\log_5(x - 4)} \ge 0\]

4. Преобразуем разность логарифмов:

   \[\frac{\log_5(\frac{3x - 13}{x - 4})}{\log_5(x - 4)} \ge 0\]

5. Метод рационализации:

   Заменим логарифмы на выражения, имеющие тот же знак:

   \[\frac{(5 - 1)(\frac{3x - 13}{x - 4} - 1)}{(5 - 1)(x - 4 - 1)} \ge 0\]

   Упростим:

   \[\frac{\frac{3x - 13}{x - 4} - 1}{x - 5} \ge 0\]

6. Упростим дробь в числителе:

   \[\frac{\frac{3x - 13 - (x - 4)}{x - 4}}{x - 5} \ge 0\]

   \[\frac{\frac{2x - 9}{x - 4}}{x - 5} \ge 0\]

   \[\frac{2x - 9}{(x - 4)(x - 5)} \ge 0\]

7. Найдем нули числителя и знаменателя:
   • \(2x - 9 = 0 \Rightarrow x = 4.5\)
   • \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
   • \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
8. Нанесем значения на числовую прямую и определим знаки на интервалах, учитывая ОДЗ:

   + + +        - - -        + + +        - - -
   ---------------------------------------------------->
           4        4.5        5
     

9. Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю:

   Учитывая ОДЗ, получаем:

   \[x \in (4; 4.5] \cup (5; +\infty)\]

Ответ: \(x \in (4; 4.5] \cup (5; +\infty)\)