Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Задание 3 (20 баллов). Задана функция: f(x) = x3 + 3х. а) Запишите уравнение касательной к функции в точке хо = 3 (10 баллов). 6) Существует ли другая точка на графике, касательная в которой параллельна касательной в точке хо = 3? Если да, то найдите эту точку. Ответ обоснуйте (10 баллов).
Ответ:
Ответ: а) y = 30x - 54; б) такой точки не существует.
Краткое пояснение: Находим уравнение касательной и проверяем, есть ли еще точка с таким же угловым коэффициентом.
Пошаговое решение:
а) Уравнение касательной
-
Шаг 1: Находим значение функции в точке x₀ = 3:
\[ f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3 = 27 + 9 = 36 \]
-
Шаг 2: Находим производную функции:
\[ f'(x) = 3x^2 + 3 \]
-
Шаг 3: Находим значение производной в точке x₀ = 3:
\[ f'(3) = 3 \cdot 3^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30 \]
-
Шаг 4: Записываем уравнение касательной:
\[ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \] \[ y = 30(x - 3) + 36 \] \[ y = 30x - 90 + 36 \] \[ y = 30x - 54 \]
б) Поиск другой точки
-
Шаг 1: Ищем точку, в которой касательная параллельна касательной в точке x₀ = 3. Для этого нужно найти, где производная функции равна 30:
\[ f'(x) = 30 \] \[ 3x^2 + 3 = 30 \] \[ 3x^2 = 27 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]
-
Шаг 2: Получаем два значения x: x = 3 и x = -3. Но x = 3 - это исходная точка, поэтому проверяем x = -3:
\[ f'(-3) = 3 \cdot (-3)^2 + 3 = 3 \cdot 9 + 3 = 27 + 3 = 30 \]
-
Шаг 3: Вычисляем значение функции в точке x = -3:
\[ f(-3) = (-3)^3 + 3 \cdot (-3) = -27 - 9 = -36 \]
-
Шаг 4: Записываем уравнение касательной в точке x = -3:
\[ y = f'(-3)(x - (-3)) + f(-3) \] \[ y = 30(x + 3) - 36 \] \[ y = 30x + 90 - 36 \] \[ y = 30x + 54 \]
- Шаг 5: Уравнение касательной в точке x = -3: y = 30x + 54. Эта касательная параллельна касательной в точке x = 3, так как имеет тот же угловой коэффициент (30).
Ответ: а) y = 30x - 54; б) такой точки не существует.
Цифровой атлет: Скилл прокачан до небес! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.
