Задачи по геометрии с доски

I Вариант

1. В треугольнике ABC дано: AB = 4, ∠A = 60°, AC = 8. Найти BC и площадь треугольника.

   По теореме косинусов:

   $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cosA$$
   $$BC^2 = 4^2 + 8^2 - 2 cdot 4 cdot 8 cdot cos60°$$
   $$BC^2 = 16 + 64 - 64 cdot rac{1}{2} = 80 - 32 = 48$$
   $$BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

   Площадь треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sinA$$
   $$S = \frac{1}{2} cdot 4 cdot 8 cdot sin60°$$
   $$S = 16 cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$

2. В треугольнике ABC дано: ∠B = 135°, ∠A = 30°, BC = 4 см. Найти AC.

   ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 135° = 15°

   По теореме синусов:

   $$\frac{AC}{sinB} = \frac{BC}{sinA}$$ $$\frac{AC}{sin135°} = \frac{4}{sin30°}$$ $$AC = \frac{4 cdot sin135°}{sin30°} = \frac{4 cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$$

3. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 7 см. Определить вид треугольника.

   Проверим теорему косинусов для наибольшей стороны:

   $$7^2 = 4^2 + 5^2 - 2 cdot 4 cdot 5 cdot cosC$$
   $$49 = 16 + 25 - 40 cdot cosC$$
   $$49 = 41 - 40 cdot cosC$$
   $$8 = -40 cdot cosC$$
   $$cosC = -\frac{8}{40} = -\frac{1}{5}$$

   Так как косинус угла C отрицательный, угол C тупой. Следовательно, треугольник тупоугольный.

1. В треугольнике ABC дано: ∠B = 120°, AB = 7, BC = x + 2, AC = x. Найти периметр треугольника.

   По теореме косинусов:

   $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC cdot cosB$$
   $$x^2 = 7^2 + (x+2)^2 - 2 cdot 7 cdot (x+2) cdot cos120°$$
   $$x^2 = 49 + x^2 + 4x + 4 - 14(x+2) cdot (-\frac{1}{2})$$
   $$x^2 = 53 + 4x + x^2 + 7(x+2)$$ $$0 = 53 + 4x + 7x + 14$$
   $$0 = 67 + 11x$$
   $$11x = -67$$
   $$x = -\frac{67}{11}$$

   Поскольку сторона треугольника не может быть отрицательной, то в условии задачи ошибка.

2. В треугольнике ABC, BD - биссектриса, AB = 4, BC = 11, AC = 12. Найти BD.

   По свойству биссектрисы:

   $$\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}$$ $$\frac{AD}{4} = \frac{12-AD}{11}$$ $$11AD = 48 - 4AD$$
   $$15AD = 48$$
   $$AD = \frac{48}{15} = \frac{16}{5} = 3.2$$

   Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

   $$cosA = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2*AB*AC} = \frac{4^2+12^2-11^2}{2*4*12} = \frac{16+144-121}{96} = \frac{39}{96} = \frac{13}{32}$$

   Применим теорему косинусов к треугольнику ABD:

   $$BD^2 = AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosA = 4^2 + 3.2^2 - 2*4*3.2*\frac{13}{32} = 16 + 10.24 - 10.4 = 15.84$$
   $$BD = \sqrt{15.84} \approx 3.98$$

3. Стороны треугольника равны 3 см, 8 см и 10 см. Определить вид треугольника.

   Проверим теорему косинусов для наибольшей стороны:

   $$10^2 = 3^2 + 8^2 - 2 cdot 3 cdot 8 cdot cosC$$
   $$100 = 9 + 64 - 48 cdot cosC$$
   $$100 = 73 - 48 cdot cosC$$
   $$27 = -48 cdot cosC$$
   $$cosC = -\frac{27}{48} = -\frac{9}{16}$$

   Так как косинус угла C отрицательный, угол C тупой. Следовательно, треугольник тупоугольный.