Задачи на тему Признаки равенства треугольников 1. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок AC = 10 м 2. Через середину O отрезка AB проведена прямая, перпендикулярная прямой AB. Докажите, что каждая точка X этой прямой одинаково удалена от точек A и B 3. На стороне AB треугольника ABC взята точка D, а на стороне A1B1 треугольника A1B1C1 взята точка D1. Известно, что треугольники ADC и A1D1C1 равны и отрезки DB и D1B1 равны. Докажите равенство треугольников ABC и A1B1C1 4. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками A и B, между которыми нельзя пройти по прямой, выбирают такую точку C, из которой можно пройти и к точке A, и к точке B и из котор видны обе эти точки. Измеряют расстояния AC и BC, продолжают их за точку C и отмеряют CD = AC и EC = BC. Докажите, что AB = DE.

Решение:

1.

Дано:

• AB и CD пересекаются в точке O.
• O — середина AB, следовательно, AO = OB.
• O — середина CD, следовательно, CO = OD.
• AC = 10 м.

Доказать:

• BD = ?

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOC и BOD.
2. AO = OB (по условию).
3. CO = OD (по условию).
4. ∠ AOC = ∠ BOD (как вертикальные углы).
5. Следовательно, ▵ AOC = ▵ BOD по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC = BD.
7. Так как AC = 10 м, то BD = 10 м.

Ответ: 10 м.

2.

Дано:

• Прямая l проходит через середину O отрезка AB.
• Прямая l перпендикулярна AB (∠ AOX = 90°).
• X — точка на прямой l.

Доказать:

• XA = XB

Доказательство:

1. Рассмотрим ▵ AOX и ▵ BOX.
2. AO = OB (так как O — середина AB по условию).
3. ∠ AOX = ∠ BOX = 90° (так как l ⊥ AB).
4. OX — общая сторона для обоих треугольников.
5. Следовательно, ▵ AOX = ▵ BOX по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: XA = XB.

Доказано.

3.

Дано:

• ▵ ABC, точка D на AB.
• ▵ A1B1C1, точка D1 на A1B1.
• ▵ ADC = ▵ A1D1C1.
• DB = D1B1.

Доказать:

• ▵ ABC = ▵ A1B1C1.

Доказательство:

1. Из ▵ ADC = ▵ A1D1C1 следует:
• AD = A1D1 (соответствующие стороны равны).
• ∠ DСA = ∠ D1C1A1.
• ∠ ADC = ∠ A1D1C1.
2. Рассмотрим ▵ ABC и ▵ A1B1C1.
3. AB = AD + DB.
4. A1B1 = A1D1 + D1B1.
5. Так как AD = A1D1 и DB = D1B1, то AB = A1B1.
6. (∠ ACB = ∠ A1C1B1 и ∠ BAC = ∠ B1A1C1 — эти углы равны, так как они состоят из равных частей: ∠ BAC = ∠ DAC, ∠ B1A1C1 = ∠ D1A1C1, и ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ DCB, ∠ A1C1B1 = ∠ A1C1D1 + ∠ D1C1B1. Из равенства ∠ ADC = ∠ A1D1C1 и ∠ DCB = ∠ D1C1B1 следует равенство ∠ ACB = ∠ A1C1B1).
7. Следовательно, ▵ ABC = ▵ A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними (AB = A1B1, ∠ BAC = ∠ B1A1C1, AC=A1C1, если ∠ C= ∠ C1, или по трем сторонам, если DB=D1B1 и AD=A1D1, то AB=A1B1).

Доказано.

4.

Дано:

• Точки A и B, между которыми нельзя пройти по прямой.
• Точка C, из которой видны A и B.
• CD = AC, EC = BC.
• D, C, E лежат на одной прямой.

Доказать:

• AB = DE

Доказательство:

1. Рассмотрим ▵ ABC и ▵ DEC.
2. AC = DC (по условию).
3. BC = EC (по условию).
4. ∠ ACB = ∠ DCE (как вертикальные углы).
5. Следовательно, ▵ ABC = ▵ DEC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = DE.

Доказано.