Задачи и упражнения на готовых чертежах. Таблица 7.6. Равнобедренный треугольник. Докажи: ДАВС — равнобедренный.

Решение:

Для доказательства того, что треугольник \( \Delta ABC \) является равнобедренным, необходимо показать, что две его стороны равны или два его угла равны.

Рассмотрим каждый чертеж отдельно:

Чертеж 1:

В \( \Delta ABC \) дано, что \( \angle A = 70^{\circ} \) и \( \angle C = 110^{\circ} \). Сумма углов треугольника составляет \( 180^{\circ} \). Найдём \( \angle B \): \( \angle B = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 110^{\circ}) = 180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ} \). Это невозможно.

Чертеж 2:

В \( \Delta ABC \) дано, что \( \angle A = 100^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \). Сумма углов треугольника составляет \( 180^{\circ} \). Найдём \( \angle B \): \( \angle B = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 190^{\circ} = -10^{\circ} \). Это невозможно.

Чертеж 3:

В \( \Delta ADE \) и \( \Delta BCE \) отмечено, что \( \angle DAE = \angle BCE \) (по одному штриху) и \( AD = CE \). Дань: \( BD = BE \).

Из условия \( BD = BE \), следует, что \( \Delta BDE \) — равнобедренный. Это не доказывает, что \( \Delta ABC \) — равнобедренный.

Чертеж 4:

В \( \Delta ABC \) проведена медиана \( BD \), которая также является высотой, так как \( \angle BDA = \angle BDC = 90^{\circ} \). Если медиана является высотой, то треугольник равнобедренный. Следовательно, \( \Delta ABC \) — равнобедренный.

Чертеж 5:

В \( \Delta ABC \) проведена высота \( BE \) к основанию \( AC \). Также отмечено, что \( BE \) является медианой, так как \( AE = EC \). Если высота является медианой, то треугольник равнобедренный. Следовательно, \( \Delta ABC \) — равнобедренный.

Чертеж 6:

В \( \Delta ABC \) проведена медиана \( BD \). Отмечено, что \( AB = BC \) (по одному штриху), \( AD = DC \) (по одному штриху). Из того, что \( AD = DC \), следует, что \( BD \) — медиана. Из того, что \( AB = BC \), следует, что \( \Delta ABC \) — равнобедренный.

Чертеж 7:

В \( \Delta ABC \) проведена медиана \( BE \) к основанию \( AC \). Отмечено, что \( BD \) — высота, \( BD \perp AC \). Также отмечено, что \( \angle ABE = \angle CBE \), значит \( BE \) — биссектриса. Если медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный. Следовательно, \( \Delta ABC \) — равнобедренный.

Чертеж 8:

В \( \Delta ABC \) дано, что \( AB = AC \) (по одному штриху). Это условие означает, что \( \Delta ABC \) — равнобедренный.

Чертеж 9:

В \( \Delta ADC \) проведены отрезки \( DE \) и \( DF \) так, что \( DE \perp AC \), \( DF \perp AC \). Это означает, что \( DE \) и \( DF \) лежат на одной прямой, что противоречит рисунку, где \( E \neq F \). Однако, отмечено, что \( DE = DF \) и \( \angle ADE = \angle ADF \). Если в треугольнике \( \Delta ADC \) проведена высота \( DB \) (предполагая, что \( D, B \) одна точка), и \( \angle ADE = \angle ADF \), то \( DB \) — биссектриса. Но \( DE = DF \) не значит, что \( \Delta ADC \) равнобедренный.

Чертеж 10:

Чертеж пустой, нет информации для доказательства.

Ответ: Для доказательства равнобедренности \( \Delta ABC \) необходимы дополнительные условия. На чертежах 4, 5, 6, 7, 8 представлены условия, позволяющие доказать, что \( \Delta ABC \) — равнобедренный.