Задачи для подготовки к контрольной работе В задачах 1-3 докажите подобие треугольников и, используя данные, указанные на рисунках, вычислите искомые элементы. 1. Найдите ТН, если ТН || NP. 2. Найдите ВС. 3. Найдите CF, если CDEF - трапеция. 4. АМ и ВК - медианы треугольника АВС. Определите вид четырёхугольника АВМК и найдите его периметр, если АВ = 14, BC = 12, AC =

1. Рассмотрим треугольники ΔNРS и ΔTHS. Так как TH || NP, то углы ∠THS = ∠NPS как соответственные при параллельных прямых TH и NP и секущей PS. ∠S - общий. Следовательно, ΔNРS ~ ΔTHS по двум углам. Составим отношение: $$\frac{TH}{NP} = \frac{TS}{NS}$$ $$\frac{TH}{25} = \frac{12}{8+12}$$ $$\frac{TH}{25} = \frac{12}{20}$$ $$\frac{TH}{25} = \frac{3}{5}$$ $$TH = \frac{3 \cdot 25}{5} = \frac{75}{5} = 15$$ Ответ: 15 2. Рассмотрим треугольники ΔOKM и ΔBСM. ∠M - общий. Составим отношение: $$\frac{OM}{BM} = \frac{18}{9} = 2$$ $$\frac{MK}{MC} = \frac{12}{6} = 2$$ Следовательно, ΔOKM ~ ΔBСM по двум сторонам и углу между ними. $$\frac{OK}{BC} = 2$$ $$BC = \frac{OK}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Ответ: 4 3. Рассмотрим трапецию CDEF. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. В трапеции CDEF: DE || CF. Так как CDEF - трапеция, то DE || CF, значит ∠EDF = ∠DFC как накрест лежащие углы. DF - секущая. Рассмотрим треугольники ΔDEF и ΔCDF. DF - общая сторона. DE = 12, CF = ? EF = 12, CD = 8 Так как DE || CF, то треугольники ΔDEF и ΔCDF подобные. Составим отношение: $$\frac{DE}{CF} = \frac{EF}{CD}$$ $$\frac{12}{CF} = \frac{12}{8}$$ $$CF = \frac{12 \cdot 8}{12} = 8$$ Ответ: 8 4. Дан треугольник АВС, в котором АВ = 14, ВС = 12, АС = 10, АМ и ВК - медианы треугольника АВС. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. АМ - медиана, значит ВМ = МС = 12:2 = 6. ВК - медиана, значит АК = КС = 10:2 = 5. Четырехугольник АВМК - это четырехугольник, у которого все стороны разные. В данном случае это трапеция. Чтобы найти периметр четырехугольника АВМК, нужно сложить все его стороны: Р = АВ + ВМ + МК + АК Р = 14 + 6 + МК + 5 = 25 + МК Чтобы найти сторону МК, надо доказать, что ΔАВС подобен ΔМВК. Угол В - общий, а стороны пропорциональны: \frac{AB}{MB} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}; \frac{BC}{BK} = \frac{12}{5}
eq \frac{7}{3} . Значит, треугольники не подобны. Чтобы найти сторону МК, воспользуемся теоремой косинусов: $$MK^2 = MB^2 + BK^2 - 2 \cdot MB \cdot BK \cdot cosB$$ Чтобы найти угол В, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника АВС: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosB$$ $$10^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \cdot 14 \cdot 12 \cdot cosB$$ $$100 = 196 + 144 - 336 \cdot cosB$$ $$100 = 340 - 336 \cdot cosB$$ $$336 \cdot cosB = 340 - 100$$ $$336 \cdot cosB = 240$$ $$cosB = \frac{240}{336} = \frac{5}{7} \approx 0.71$$ $$MK^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{5}{7}$$ $$MK^2 = 36 + 25 - \frac{300}{7}$$ $$MK^2 = 61 - 42.86 \approx 18.14$$ $$MK = \sqrt{18.14} \approx 4.26$$ P = 25 + 4.26 = 29.26 Ответ: P = 29.26, вид четырехугольника - трапеция.