900. (Задача-исследование.) Верно ли, что если p — простое число, большее трёх, то зна- чение выражения р² - 1 кратно 12.

Ответ: Верно.

Разбираемся:

• Простое число больше 3 не делится на 3, поэтому оно имеет вид 3k + 1 или 3k + 2.
• Если p = 3k + 1, то p² - 1 = (3k + 1)² - 1 = 9k² + 6k = 3k(3k + 2).
• Если p = 3k + 2, то p² - 1 = (3k + 2)² - 1 = 9k² + 12k + 3 = 3(3k² + 4k + 1).
• В обоих случаях p² - 1 делится на 3, то есть кратно 3.
• Простое число больше 3 не делится на 2, поэтому оно нечётное.
• Нечётное число можно представить в виде 2n + 1, где n - целое число.
• Тогда p² - 1 = (2n + 1)² - 1 = 4n² + 4n = 4n(n + 1).
• Либо n, либо n + 1 - чётное число, следовательно, n(n + 1) всегда делится на 2.
• Значит, 4n(n + 1) делится на 8, то есть кратно 8.
• Если p² - 1 кратно 3 и 8, то оно кратно 3 ⋅ 4 = 12.

Ответ: Верно.