Задача №6 В треугольнике ABC, угол C равен 90°, AB = 4, sin A = √19 10 . Найдите длину АС.

Ответ: 3.6

Разбираемся:

• В прямоугольном треугольнике ABC, где \(\angle C = 90^\circ\), синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[sin A = \frac{BC}{AB}\]

• Дано, что \(sin A = \frac{\sqrt{19}}{10}\) и AB = 4. Подставим эти значения в формулу:

\[\frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{BC}{4}\]

• Выразим BC:

\[BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{4\sqrt{19}}{10}\]

• Теперь, когда известны BC и AB, можно найти AC, используя теорему Пифагора:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]

• Выразим AC:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}\]

• Подставим известные значения:

\[AC = \sqrt{4^2 - \left(\frac{4\sqrt{19}}{10}\right)^2} = \sqrt{16 - \frac{16 \cdot 19}{100}} = \sqrt{16 - \frac{304}{100}} = \sqrt{16 - 3.04} = \sqrt{12.96}\]

• Извлекаем корень:

\[AC = 3.6\]

Ответ: 3.6