Задача 4. В современную эпоху плотность темной материи составляет ртм = 2,2-10-27 кг/м3, а плотность темной энергии рте = 7,2. 10-27 кг/м3. Определите красное смещение для эпохи, когда эти плотности были равны.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Условие равенства плотностей.

По условию задачи, необходимо найти красное смещение для эпохи, когда плотности темной материи и темной энергии равны. В современную эпоху плотность темной материи \[ \rho_{TM} = 2.2 \cdot 10^{-27} \text{ кг/м}^3 \], а плотность темной энергии \[ \rho_{TE} = 7.2 \cdot 10^{-27} \text{ кг/м}^3 \].

• Шаг 2: Зависимость плотности темной материи от красного смещения.

Плотность темной материи изменяется с красным смещением \( z \) как \[ \rho_{TM}(z) = \rho_{TM,0} (1 + z)^3 \], где \( \rho_{TM,0} \) - плотность темной материи в современную эпоху.

• Шаг 3: Зависимость плотности темной энергии от красного смещения.

Плотность темной энергии считается постоянной и не зависит от красного смещения, то есть \[ \rho_{TE}(z) = \rho_{TE,0} \], где \( \rho_{TE,0} \) - плотность темной энергии в современную эпоху.

• Шаг 4: Уравнение для определения красного смещения.

Чтобы найти красное смещение \( z \), при котором плотности равны, необходимо решить уравнение \[ \rho_{TM}(z) = \rho_{TE}(z) \] или \[ \rho_{TM,0} (1 + z)^3 = \rho_{TE,0} \]

• Шаг 5: Решение уравнения.

Подставляем значения и решаем уравнение: \[ 2.2 \cdot 10^{-27} (1 + z)^3 = 7.2 \cdot 10^{-27} \] \[ (1 + z)^3 = \frac{7.2 \cdot 10^{-27}}{2.2 \cdot 10^{-27}} = \frac{7.2}{2.2} \] \[ (1 + z)^3 = \frac{36}{11} \] \[ 1 + z = \sqrt[3]{\frac{36}{11}} \] \[ z = \sqrt[3]{\frac{36}{11}} - 1 \]

• Шаг 6: Вычисление значения.

Вычисляем значение \( z \): \[ z = \sqrt[3]{\frac{36}{11}} - 1 \approx \sqrt[3]{3.2727} - 1 \approx 1.484 - 1 = 0.484 \]

Ответ: 0.484