Задача 11. В остроугольном ДАВС высоты АА1 и СС1 равны, также АС1 = ВА1. Найдите угол В.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники АСС1 и ВАА1. У них:
• AA1 = CC1 (по условию)
• AC1 = BA1 (по условию)
• ∠AA1B = ∠CC1A = 90° (так как AA1 и CC1 – высоты)
2. Следовательно, треугольники АСС1 и ВАА1 равны по двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что ∠A = ∠C. Значит, треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC.
4. Тогда AB = BC. Т.к. AC1 = BA1 и AA1 = CC1, то AС1 = BA1. Следовательно, C1B = AB – AC1 = BC – BA1 = CA1.
5. Рассмотрим треугольник BC1A1:
• C1A1 || AC (т.к. углы ∠BC1A1 = ∠BAC, ∠BA1C1 = ∠BCA)
• ∠A1C1B = ∠CAB
• ∠C1A1B = ∠BCA
6. Тогда треугольник BC1A1 – равнобедренный, и C1A1 = BC1 = A1B.
7. Следовательно, треугольник BA1C1 – прямоугольный и равнобедренный, значит углы при основании равны 45°: ∠BA1C1 = ∠BC1A1 = 45°.
8. Угол В равен углу A1BC1, который составляет 45°.