Задача 7. Из 40 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, восемь подготовлены отлично, восемнадцать - посредственно и остальные - плохо. В экзаменационных билетах имеется 35 вопросов. Студент, подготовленный отлично, знает ответы на все вопросы, посредственно 28, и плохо – на 20. а) Какова вероятность того, что наудачу выбранный студент ответит на поставленный вопрос? Б) Наудачу выбранный студент ответил на вопрос. Какова вероятность того, что он подготовлен плохо?

Решение:

а)

• Всего студентов: 40
• Отлично подготовлены: 8
• Подготовлены посредственно: 18
• Подготовлены плохо: 40 - 8 - 18 = 14
• Всего вопросов: 35
• Студент, подготовленный отлично, знает ответы на все вопросы (35)
• Студент, подготовленный посредственно, знает ответы на 28 вопросов
• Студент, подготовленный плохо, знает ответы на 20 вопросов

Вероятность того, что случайно выбранный студент ответит на вопрос:

\[P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + P(A|B_3)P(B_3)\]

где:

• \(P(B_1)\) - вероятность выбрать отлично подготовленного студента: \(\frac{8}{40}\)
• \(P(B_2)\) - вероятность выбрать посредственно подготовленного студента: \(\frac{18}{40}\)
• \(P(B_3)\) - вероятность выбрать плохо подготовленного студента: \(\frac{14}{40}\)
• \(P(A|B_1)\) - вероятность ответить на вопрос, если студент подготовлен отлично: \(\frac{35}{35} = 1\)
• \(P(A|B_2)\) - вероятность ответить на вопрос, если студент подготовлен посредственно: \(\frac{28}{35}\)
• \(P(A|B_3)\) - вероятность ответить на вопрос, если студент подготовлен плохо: \(\frac{20}{35}\)

Подставляем значения:

\[P(A) = 1 \cdot \frac{8}{40} + \frac{28}{35} \cdot \frac{18}{40} + \frac{20}{35} \cdot \frac{14}{40} = \frac{8}{40} + \frac{28 \cdot 18}{35 \cdot 40} + \frac{20 \cdot 14}{35 \cdot 40} = \frac{8}{40} + \frac{504}{1400} + \frac{280}{1400} = \frac{280 + 504 + 280}{1400} = \frac{1064}{1400} = \frac{532}{700} = \frac{266}{350} = \frac{133}{175} = 0.76\]

б)

Нужно найти вероятность, что студент подготовлен плохо, при условии, что он ответил на вопрос. Используем формулу Байеса:

\[P(B_3|A) = \frac{P(A|B_3)P(B_3)}{P(A)}\]

где:

• \(P(B_3|A)\) - вероятность того, что студент подготовлен плохо, при условии, что он ответил на вопрос
• \(P(A|B_3)\) - вероятность ответить на вопрос, если студент подготовлен плохо: \(\frac{20}{35}\)
• \(P(B_3)\) - вероятность выбрать плохо подготовленного студента: \(\frac{14}{40}\)
• \(P(A)\) - полная вероятность ответить на вопрос (из пункта а): \(\frac{133}{175}\)

Подставляем значения:

\[P(B_3|A) = \frac{\frac{20}{35} \cdot \frac{14}{40}}{\frac{133}{175}} = \frac{\frac{20 \cdot 14}{35 \cdot 40}}{\frac{133}{175}} = \frac{\frac{280}{1400}}{\frac{133}{175}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{133}{175}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{175}{133} = \frac{175}{665} = \frac{35}{133} = 0.263\]