Задача. E — середина ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что сечение куба плоскостью D₁AE — равнобедренная трапеция. б) Найдите площадь сечения, если ребро куба равно 4.

Обозначим через F точку пересечения плоскости D₁AE с ребром B₁C₁. Тогда сечение — четырёхугольник AED₁F.

а) Грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллельны, поэтому линии их пересечения с плоскостью D₁AE параллельны: AE ∥ D₁F. Следовательно, AED₁F — трапеция.

Пусть ребро куба равно a. Так как E — середина BB₁, то BE = a/2. Из параллельности граней следует, что на верхней грани точка F делит B₁C₁ так, что B₁F = a/2. В прямоугольных треугольниках ABB₁ и D₁C₁F соответствующие катеты равны: AB = D₁C₁ = a и BB₁ = C₁F = a/2. Поэтому AE = D₁F. Трапеция с равными боковыми сторонами равнобедренная.

б) При a = 4 основания равны AD₁ = 4√2 и EF = 2√2. Боковая сторона AE = √(4² + 2²) = 2√5.

Разность оснований равна 2√2, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна √2. Высота трапеции: h = √((2√5)² − (√2)²) = 3√2.

Площадь: S = ((4√2 + 2√2) / 2) · 3√2 = 18.

Ответ: сечение AED₁F — равнобедренная трапеция; его площадь равна 18.