Задача. Докажите, что в прямоугольном ∆ АВС медиана, проведённая к гипотенузе АВ, равна половине гипотенузы. Доказательство.

Ответ: Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине этой гипотенузы.

Доказательство:

1. Дано:

   • Треугольник ABC – прямоугольный (∠C = 90°).
   • CM – медиана, проведенная к гипотенузе AB.

2. Требуется доказать: CM = 1/2 AB

3. Решение:

   Показать пошаговое решение

   • Отметим точку M – середину гипотенузы AB.
   • Проведем медиану CM.
   • Рассмотрим треугольники AMC и BMC.

   

   • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, CM = AM = MB.
   • Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = CM, то треугольник AMC – равнобедренный с основанием AC. Следовательно, углы при основании равны: ∠MAC = ∠MCA.
   • Аналогично, треугольник BMC – равнобедренный с основанием BC. Следовательно, ∠MBC = ∠MCB.
   • Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Тогда ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Так как ∠C = 90°, то ∠A + ∠B = 90°.
   • Учитывая равенства углов в равнобедренных треугольниках, имеем: ∠MAC + ∠MBC = ∠MCA + ∠MCB = 90°.
   • Тогда ∠MCA + ∠MCB = ∠ACB = 90°.
   • Таким образом, мы доказали, что CM является медианой, равной половине гипотенузы AB.

Ответ: Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине этой гипотенузы.