Задача 8. По данным на рисунке найдите \(\angle\) NMK, если \(\text{МК}\) = \(\text{КР}\), а прямая NP является касательной к окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. \( NP \) — касательная к окружности, \( ON \) — радиус. Следовательно, \( \angle ONP = 90° \).

2. \( MK = KP \). Это означает, что \( \triangle MKP \) — равнобедренный треугольник.

3. \( \angle NMK \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NK \).

4. \( \angle NKP \) — угол, образованный хордой \( NK \) и секущей \( NP \).

5. \( \angle MPK \) — внешний угол \(\triangle KPN\).

6. \( \angle MKP \) — угол между хордами \( MK \) и \( KP \).

7. \( \angle KNP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( KN \). Следовательно, \( \angle KNP = \angle NMK \).

8. \( \angle NKP \) — угол, опирающийся на дугу \( NK \). \( \angle NKP = \angle NMK \).

9. \( \angle KNP \) — угол, опирающийся на дугу \( KP \).

10. \( \angle KMP \) — угол, опирающийся на дугу \( KP \). Следовательно, \( \angle KNP = \angle KMP \).

11. \( \angle MPN \) — угол, опирающийся на дугу \( MN \).

12. \( \angle MKN \) — угол, опирающийся на дугу \( MN \). Следовательно, \( \angle MPN = \angle MKN \).

13. Так как \( MK = KP \), то \( \triangle MKP \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle KMP = \angle KPN \).

14. Из \( \angle KNP = \angle KMP \) (пункт 10) и \( \angle KMP = \angle KPN \) (пункт 13), получаем \( \angle KNP = \angle KPN \).

15. Если \( \angle KNP = \angle KPN \), то \( \triangle KNP \) — равнобедренный с основанием \( NP \).

16. Из \( \angle KNP = \angle NMK \) (пункт 7) и \( \angle KPN = \angle KNP \) (пункт 14), получаем \( \angle NMK = \angle KPN \).

17. В \( \triangle KNP \), сумма углов равна \( 180° \). \( \angle KNP + \angle KPN + \angle NKP = 180° \).

18. Пусть \( \angle NMK = x \). Тогда \( \angle KPN = x \) (из пункта 16).

19. Так как \( \angle KNP = \angle KPN \) (пункт 14), то \( \angle KNP = x \).

20. Теперь рассмотрим \( \triangle KNP \): \( x + x + \angle NKP = 180° \), откуда \( \angle NKP = 180° - 2x \).

21. \( \angle NKP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NK \). \( \angle NMK \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NK \).

22. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, \( \angle NMK = \angle NKP \).

23. Следовательно, \( x = 180° - 2x \).

24. Решаем уравнение: \( 3x = 180° \) \(\Rightarrow\) \( x = 60° \).

25. Проверим: \( \angle NMK = 60° \). Тогда \( \angle KPN = 60° \) и \( \angle KNP = 60° \).

26. \( \angle NKP = 180° - 60° - 60° = 60° \).

27. Таким образом, \( \triangle KNP \) — равносторонний.

28. Но \( ON \) — радиус, \( NP \) — касательная, \( \angle ONP = 90° \). В \( \triangle ONP \) имеем \( \angle KPN = 60° \), значит \( \angle NOP = 180° - 90° - 60° = 30° \).

29. Дуга \( NP \) равна \( 30° \) (если \( O \) — центр).

30. Вернемся к \( MK = KP \). \( \angle KMP = \angle KPN = 60° \).

31. \( \angle KNP = \angle KMP = 60° \).

32. \( \angle NMK = \angle KNP = 60° \).

33. \( \angle NKP = 180° - 60° - 60° = 60° \).

34. \( \angle NKP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NK \). Значит, дуга \( NK = 2 \times \angle NMK = 2 \times 60° = 120° \).

35. \( \angle KNP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( KP \). Дуга \( KP = 2 \times \angle KNP = 2 \times 60° = 120° \).

36. Сумма дуг \( NK + KP = 120° + 120° = 240° \). Это больше \( 180° \), что противоречит рисунку.

37. Пересмотрим пункт 7: \( \angle KNP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( KN \). Следовательно, \( \angle KNP = \angle NMK \).

38. Пересмотрим пункт 8: \( \angle NKP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NK \). Следовательно, \( \angle NKP = \angle NMK \).

39. Из \( MK = KP \), \( \triangle MKP \) — равнобедренный. \( \angle KMP = \angle KPN \).

40. \( \angle KNP \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( KP \). \( \angle KMP \) — угол между хордами, опирающийся на дугу \( KP \). \( \angle KNP = \angle KMP \).

41. Значит, \( \angle KPN = \angle KNP \). \( \triangle KNP \) — равнобедренный с основанием \( NP \).

42. \( \angle NMK = \angle NKP \) (опираются на одну дугу \( NK \)).

43. В \( \triangle MKP \): \( \angle MKP + \angle KMP + \angle KPN = 180° \). Так как \( \angle KMP = \angle KPN \), то \( \angle MKP + 2 \angle KPN = 180° \).

44. В \( \triangle KNP \): \( \angle KNP + \angle KPN + \angle NKP = 180° \).

45. Заменим \( \angle KNP \) на \( \angle KMP \) (пункт 40) и \( \angle KPN \) на \( \angle KMP \) (пункт 39).

\( \angle KMP + \angle KMP + \angle NKP = 180° \) \(\Rightarrow\) \( 2 \angle KMP + \angle NKP = 180° \).

46. Также \( \angle NMK = \angle NKP \).

47. Пусть \( \angle NMK = x \). Тогда \( \angle NKP = x \).

48. \( 2 \angle KMP + x = 180° \) \(\Rightarrow\) \( \angle KMP = (180° - x) / 2 = 90° - x/2 \).

49. \( \angle KPN = \angle KMP = 90° - x/2 \).

50. \( \angle KNP = \angle KMP = 90° - x/2 \).

51. \( \angle KNP = \angle NMK \) (пункт 7) \(\Rightarrow\) \( 90° - x/2 = x \).

52. Решаем уравнение: \( 90° = x + x/2 = 3x/2 \).

53. \( x = 90° \times 2 / 3 = 60° \).

54. \( \angle NMK = 60° \).

Ответ: 60°.