Задача 8. Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Постройте сечение единичного куба плоскостью, проходящей через точки A₁, C₁ и K, если точка K лежит на ребре DC и делит ребро в отношении 1 : 4, считая от точки D. б) Найдите площадь сечения. В ответ введите результат, поделённый на √66.

Зададим координаты куба: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0); верхние вершины имеют координату z = 1.

Так как DK : KC = 1 : 4, точка K имеет координаты (0, 1/5, 0). Плоскость через A₁, C₁ и K задаётся уравнением z = 1 − 5x + 5y.

На нижней грани z = 0 уравнение плоскости даёт y = x − 1/5. Эта прямая пересекает границу грани в K и точке L на ребре BC, где L = (1, 4/5, 0). На верхней грани z = 1 плоскость пересекает куб по диагонали A₁C₁. Поэтому сечение — четырёхугольник A₁C₁LK.

Площадь найдём как сумму площадей треугольников A₁C₁L и A₁LK.

Для первого треугольника векторы A₁C₁ = (1, 1, 0) и A₁L = (1, 4/5, −1). Площадь равна половине длины их векторного произведения: S₁ = √51/10.

Для второго треугольника A₁L = (1, 4/5, −1), A₁K = (0, 1/5, −1). Аналогично S₂ = √35/10.

Следовательно, площадь сечения S = (√51 + √35)/10. Требуемый в условии результат — это площадь, делённая на √66.

Ответ: (√51 + √35)/(10√66).